福建省龙岩市武平县城郊中学2016届九年级（下）第一次月考数学试卷（解析版）人教版.doc

‎2015-2016学年福建省龙岩市武平县城郊中学九年级（下）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题．‎ ‎1． 5的相反数是（　　）‎ A． B．‎5 ‎C．﹣5 D．‎ ‎2．截至2016年3月底，某市人口数已达到5230000人，将5230000用科学记数法表示为（　　）‎ A．5.23×106 B．0.523×‎107 ‎C．52.3×105 D．523×104‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．‎2a+‎2a=‎2a2 B．（a3）3=a‎9 ‎C．a2•a4=a8 D．a6÷a3=a2‎ ‎4．下列计算错误的是（　　）‎ A．÷=2 B． C． = D．‎ ‎5．二元一次方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7．如图所示，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．如果将抛物线y=x2‎ 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）‎ A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣‎2 ‎C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2‎ ‎9．点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（　　）‎ A．2 B．±2 C． D．±‎ ‎10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：‎ X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ y ‎﹣1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ 下列结论：‎ ‎（1）ac＜0；‎ ‎（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．‎ ‎（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；‎ ‎（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎　‎ 二、填空题．‎ ‎11．若式子有意义，则x的取值范围为　　．‎ ‎12．已知|a﹣2|+=0，则ba=　　．‎ ‎13．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k=　　．‎ ‎14．如果点P（m﹣1，2﹣m）在第四象限，则m的取值范围是　　．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中 每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出里向外第2016个正方形（实线）四条边上的整点个数共有　　个．‎ ‎16．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题．（共92分）‎ ‎17．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣1）2013|2﹣|．‎ ‎18．先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）+x2（x﹣1），其中x=﹣1．‎ ‎19．先将代数式+化简，再从﹣5≤x≤5的范围内选取一个合适的整数x代入求值．‎ ‎20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎21．（12分）解方程（组）：‎ ‎（1）‎ ‎（2）1+=．‎ ‎22．（12分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．‎ ‎（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB‎1C1；‎ ‎（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；‎ ‎（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B‎2C2，并标出B2、C2两点的坐标．‎ ‎23． diaoyudao自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼开展常态化巡逻．某人，为按计划准点到达指定海拔，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，求该巡逻艇原计划准点到的时间．‎ ‎24．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点（不与B、C重合）．设BP=x．‎ ‎（1）当x=6时，求PE的长；‎ ‎（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；‎ ‎（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．‎ ‎25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标，并求出此时△PAC的最小值；‎ ‎（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，抛物线上的一个动点M，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与△BPE相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年福建省龙岩市武平县城郊中学九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题．‎ ‎1．5的相反数是（　　）‎ A． B．‎5 ‎C．﹣5 D．‎ ‎【考点】相反数．菁优网版权所有 ‎【分析】两数互为相反数，它们的和为0，由此可得出答案．‎ ‎【解答】解：设5的相反数为x．则5+x=0，x=﹣5．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是相反数的概念．两数互为相反数，它们的和为0．‎ ‎　‎ ‎2．截至2016年3月底，某市人口数已达到5230000人，将5230000用科学记数法表示为（　　）‎ A．5.23×106 B．0.523×‎107 ‎C．52.3×105 D．523×104‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：5230000用科学记数法可表示为：5.23×106．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．‎2a+‎2a=‎2a2 B．（a3）3=a‎9 ‎C．a2•a4=a8 D．a6÷a3=a2‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加，对各选项计算后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、‎2a+‎2a=‎4a，故本选项错误；‎ B、（a3）3=a9，故本选项正确；‎ C、a2•a4=a6，故本选项错误；‎ D、a6÷a3=a3，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎4．下列计算错误的是（　　）‎ A．÷=2 B． C． = D．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有 ‎【分析】利用根式运算的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（A）÷===2，故正确；‎ ‎（B）==×=2，故正确；‎ ‎（C）×==，故正确；‎ ‎（D）由于与不是同类二次根式，故不能合并，故错误；‎ 故答案选：（D）‎ ‎【点评】本题考查二次根式的混合运算，要注意是同类二次根式才能进行合并．‎ ‎　‎ ‎5．二元一次方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：2x=2，即x=1，‎ ‎①﹣②得：2y=4，即y=2，‎ 则方程组的解为．‎ 故选：B ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎　‎ ‎6．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】一次函数的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．‎ ‎【解答】解：∵解析式y=﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，‎ ‎∴图象过二、三、四象限．‎ 故选A．‎ ‎【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有 ‎【分析】首先根据图象可得不等式x+b＞kx﹣1的解集是能是函数y1=x+b的图象在上边的未知数的范围，据此即可求得x的范围，从而判断．‎ ‎【解答】解：不等式x+b＞kx﹣1的解集是x＞﹣1．‎ 则利用数轴表示为 ‎．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象与不等式的关系，理解不等式x+b＞kx﹣1的解集是能是函数y1=x+b的图象在上边的未知数的范围是关键．‎ ‎　‎ ‎8．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）‎ A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣‎2 ‎C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 ‎【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y=（x﹣1）2+2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（　　）‎ A．2 B．±2 C． D．±‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】分两种情况：点A在第一象限或第二象限，从而得出点B的坐标，再根据△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，求出点A坐标，即可得出k值．‎ ‎【解答】解：当点A在第一象限时，过A作AC⊥OB于C，如图1，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴B点的坐标是（2，0）；‎ ‎∵∠AOC=60°，AO=BO=2，‎ ‎∴OC=1，AC=AOsin60°=2sin60°=，‎ ‎∴A点的坐标是（1，），‎ ‎∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点，‎ ‎∴k=；‎ 当点A在第二象限时，过A作AC⊥OB于C，如图2，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴B点的坐标是（﹣2，0）；‎ ‎∵∠AOC=60°，AO=BO=2，‎ ‎∴OC=1，AC=2sin60°=，‎ ‎∴A点的坐标是（﹣1，），‎ ‎∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点，‎ ‎∴k=﹣；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，是基础题难度不大．‎ ‎　‎ ‎10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：‎ X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ y ‎﹣1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ 下列结论：‎ ‎（1）ac＜0；‎ ‎（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．‎ ‎（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；‎ ‎（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；图表型．‎ ‎【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；‎ ‎（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；‎ ‎（3）∵x=3时，y=3，∴‎9a+3b+c=3，∵c=3，∴‎9a+3b+3=3，∴‎9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；‎ ‎（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题．‎ ‎11．若式子有意义，则x的取值范围为　x≠3　．‎ ‎【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有 ‎【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得答案．‎ ‎【解答】解：要使有意义，得 x﹣3≠0．‎ 解得x≠3，‎ 故答案为：x≠3．‎ ‎【点评】本题考查了分式有意义的条件，（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．‎ ‎　‎ ‎12．已知|a﹣2|+=0，则ba=　9　．‎ ‎【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．菁优网版权所有 ‎【分析】首先根据非负数的性质列方程组求得a和b的值，然后求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则ba=32=9．‎ 故答案是：9．‎ ‎【点评】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0，初中范围内的非负数有：数的偶次方、绝对值以及算术平方根．‎ ‎　‎ ‎13．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k=　9　．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有 ‎【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．‎ ‎【解答】解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，‎ 解得k=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．‎ ‎　‎ ‎14．如果点P（m﹣1，2﹣m）在第四象限，则m的取值范围是　m＞2　．‎ ‎【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．菁优网版权所有 ‎【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．‎ ‎【解答】解：∵点P（m﹣1，2﹣m）在第四象限，‎ ‎∴，‎ 解得m＞2，‎ 故m的取值范围是m＞2．‎ ‎【点评】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．‎ ‎　‎ ‎15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中 每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出里向外第2016个正方形（实线）四条边上的整点个数共有　8064　个．‎ ‎【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有 ‎【分析】设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有an（n为正整数）个，根据图形找出部分an的值，根据数的变化找出变化规律“an=4n”，依此规律即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有an（n为正整数）个，‎ 观察，发现：a1=4，a2=8，a3=12，a4=16，…，‎ ‎∴an=4n．‎ 当n=2016是，a2016=2016×4=8064．‎ 故答案为：8064．‎ ‎【点评】本题考查了规律型中数的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=4n”．‎ ‎　‎ ‎16．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是　12　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 ‎【分析】设D（a，a），代入反比例函数的解析式即可求出a的值，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：设D（a，a），‎ ‎∵双曲线y=经过点D，‎ ‎∴a2=3，解得a=，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴正方形ABCD的面积=AD2=（2）2=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题．（共92分）‎ ‎17．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣1）2013|2﹣|．‎ ‎【考点】实数的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】∵π﹣3≠0，∴（π﹣3）0=1，（﹣1）2013=﹣1，|2﹣|=2﹣，先算乘方，再算乘除，最后算加减．结果注意化简．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣1+（﹣1）（2﹣）=1﹣2+=．‎ ‎【点评】此题考查了立方根的意义，0指数幂及绝对值的化简和实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）+x2（x﹣1），其中x=﹣1．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣4+x3﹣x2=x3﹣4，‎ 当x=﹣1时，原式=﹣5．‎ ‎【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．先将代数式+化简，再从﹣5≤x≤5的范围内选取一个合适的整数x代入求值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 ‎【分析】先提取负号转化为同分母分式相减，再将分子因式分解后约分即可化简，最后选取使分式有意义的值代入计算可得结果．‎ ‎【解答】解： +‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=x+5，‎ 当x=0时，原式=0+5=5．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：∵由①得，x≤3，由②得x＞0，‎ ‎∴此不等式组的解集为：0＜x≤3，‎ 在数轴上表示为：‎ 故答案为：0＜x≤3．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别．‎ ‎　‎ ‎21．解方程（组）：‎ ‎（1）‎ ‎（2）1+=．‎ ‎【考点】解分式方程；解二元一次方程组．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据代入消元法，可得方程组的解；‎ ‎（2）根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）把①代入②，得 ‎2（y+4）+y=8，‎ 解得y=0，‎ 把y=0代入①，得 x=4，原方程组的解为；‎ ‎（2）方程的两边都乘以（x﹣2），得 x﹣2+3x=2，‎ 解得x=1，‎ 检验：x=1时，x﹣2≠0，‎ x=1是原分式方程的解．‎ ‎【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．‎ ‎　‎ ‎22．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．‎ ‎（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB‎1C1；‎ ‎（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；‎ ‎（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B‎2C2，并标出B2、C2两点的坐标．‎ ‎【考点】作图-旋转变换．菁优网版权所有 ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】（1）根据网格结构找出点B、C的对应点B1、C1的位置，然后与点A顺次连接即可；‎ ‎（2）以点B向右3个单位，向下5个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点A、C的坐标即可；‎ ‎（3）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．‎ ‎【解答】解：（1）△AB‎1C1如图所示；‎ ‎（2）如图所示，A（0，1），C（﹣3，1）；‎ ‎（3）△A2B‎2C2如图所示，B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23． diaoyudao自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼开展常态化巡逻．某人，为按计划准点到达指定海拔，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，求该巡逻艇原计划准点到的时间．‎ ‎【考点】函数的图象．菁优网版权所有 ‎【分析】根据函数图象和题意可以求出开始的速度为80海里/时，故障排除后的速度是100海里/时，设计划行驶的路程是a海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出计划到达时间．‎ ‎【解答】解：由图象及题意，得 故障前的速度为：80÷1=80海里/时，‎ 故障后的速度为：（180﹣80）÷1=100海里/时．‎ 设航行额全程有a海里，由题意，得=2+，‎ 解得：a=480，‎ 则原计划行驶的时间为：480÷80=6小时，‎ 解法二：设原计划行驶的时间为t小时，‎ ‎80t=80+100（t﹣2）‎ 解得：t=6，‎ 故计划准点到达的时刻为：7：00．‎ ‎【点评】本题考查了运用函数图象的意义解答行程问题的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时先根据图象求出速度是关键，再建立方程求出距离是难点．‎ ‎　‎ ‎24．（13分）（2014•龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点（不与B、C重合）．设BP=x．‎ ‎（1）当x=6时，求PE的长；‎ ‎（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；‎ ‎（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．‎ ‎【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5；‎ ‎（2）先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明Rt△BPN∽Rt△BAD，理由相似可计算出PB=，即x=；‎ ‎（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=‎ AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，‎ ‎∴BD=CD=6，AD⊥BC，‎ ‎∴当x=6时，点P在D点处，‎ ‎∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，‎ ‎∴PE=AB=5；‎ ‎（2）∵点E为AB的中点，‎ ‎∴BE=5，‎ 当BP=BE=5，则x=5；‎ 当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，‎ ‎∵点E为AB的中点，‎ 而EM∥AD，‎ ‎∴M点为BD的中点，‎ ‎∴PB=BD=6，‎ ‎∴x=6；‎ 当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=BE=，‎ ‎∵∠PBN=∠DBA，‎ ‎∴Rt△BPN∽Rt△BAD，‎ ‎∴PB：AB=BN：BD，即x：10=：6，‎ ‎∴x=，‎ 综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或；‎ ‎（3）以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：‎ EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，‎ 在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，‎ ‎∴AD==8，‎ ‎∵点E为AB的中点，‎ 而EF∥BD，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF=BD=3，AF=DF=AD=4，‎ ‎∵AD平分EP，‎ ‎∴OE=OP，‎ 在△OEF和△OPD中 ‎，‎ ‎∴△OEF≌△OPD，‎ ‎∴OF=OD，‎ ‎∴OF=DF=2，‎ ‎∴AO=AF+OF=6，‎ 在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，‎ ‎∴OE==，‎ ‎∵∠OAH=∠CAD，‎ ‎∴Rt△AOH∽Rt△ACD，‎ ‎∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=，‎ ‎∵OE===，OH===，‎ ‎∴OE＞OH，‎ ‎∴以EP为直径的圆与直线AC相交．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法和等腰三角形的性质；利用三角形全等解决线段相等的问题；利用三角形相似求线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标，并求出此时△PAC的最小值；‎ ‎（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，抛物线上的一个动点M，过M作MN⊥x轴于点N，是 否存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与△BPE相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．‎ ‎（2）如图1中，连接BC与对称轴交于点P，此时△PAC的周长最小．求出直线BC的解析式即可解决问题．‎ ‎（3）存在，如图2中，首先证明△APE是等腰直角三角形，直线y=x+1以及直线y=﹣x﹣1与抛物线的交点即为所求的点M，利用方程组即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），‎ ‎∴，解得 ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴顶点D坐标为（1，4）．‎ ‎（2）如图1中，连接BC与对称轴交于点P，此时△PAC的周长最小．‎ ‎∵△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB=AC+BC，‎ 又∵AC为定值，两点之间线段最短，‎ ‎∴此时△PAC的周长最短，‎ 设直线BC解析式为y=kx+b，则有，‎ 解得，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3，‎ ‎∵对称轴x=1，‎ ‎∴点P坐标（1，2），‎ ‎△PAC是周长最小值=AC+BC=+=+3．‎ ‎（3）存在，如图2中，‎ 由（2）可知PE=AE=2，∠AEP=90°，‎ ‎∴△AEP是等腰直角三角形，‎ ‎∵A（﹣1，0），P（1，2），‎ ‎∴直线AP的解析式为y=x+1，设直线AP与抛物线的交点为M，‎ 此时∵PE∥MN，‎ ‎∴△AMN∽△APE，‎ 由解得或，‎ ‎∴点M坐标为（2，3）．‎ ‎∵直线AM关于x轴对称的直线AM′的解析式为y=﹣x﹣1，（M′是直线AM′与抛物线的交点，此时△AM′N′∽△APE），‎ 由解得或，‎ ‎∴点M′坐标为（4，﹣5），‎ 综上所述满足条件的点M坐标为（2，3）或（4，﹣5）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题，学会寻找特殊三角形解决问题，学会用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．‎