2017届三省十校联考数学（理科）试题
考试学校：蕉岭中学、安远一中、上杭二中、平远中学、龙川一中等十校
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数的对应点为（1,1），则（ ）
A． B． C． D．
2．若全集，集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．设,则二项式展开式中的第4项为（ ）
A． B．-1280 C． 240 D．-240
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，
，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知满足约束条件，且的最小值为2，则常数（ ）
A．2 B．-2 C．6 D．3
8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交
点的
距离为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，
若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10. 若双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则
双曲线的离 心率为（ ）
A．5 B． C． D．
11．点、、、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，， 则点与中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足条件：对于，唯一的， 使得.当成立时，则实数（ ）
A. B. C.+3 D.+3
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总分20分。
13. 已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，
则实数的值为__________。
14．公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，
这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为__________。
（参考数据：，）
15．已知为数列的前n项和， 且。
则的通项公式为__________。
16．若圆与圆都关于直线对称,则__________。
三、解答题：本大题共7小题，总分70分。
17．（本小题满分12分）
如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
18. （本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.
（,其中）
19．（本小题满分12分）
如图,四棱锥中,，,.
（1）证明：；
（2）若与所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知分别是椭圆：的左右两个焦点，是椭圆上一点，
且成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；、
（2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）讨论在上的单调性；
（2）若对任意的正整数都有成立，求的取值范围．
选做题（请任选一题解答，如两题都做，默认为第22题）（本小题满分10分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数）, 曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上一点，曲线上一点，求的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）不等式恒成立时，实数的取值范围是，求实数的集合．
2017届三省十校联考数学（理科）试题
参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，总分60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
C
A
D
B
D
D
C
B
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总分20分。
13. 3 14. 24 15. 16.
三、解答题：本大题共7小题，总分70分。
17．（本小题满分12分）
【解析】（I）在三角形中，∵，∴． ………………2分
在中，由正弦定理得，
又，，．∴． ………………5分
（II）∵，∴，，
又，∴， ………………7分
∵，∴，
∵，，
，∴， ………………9分
在中，由余弦定理得：
，∴， ……………11分
∴． ……………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
----5分
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.----6分
(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为,且的取值可以是0,1,2,3,4,5. ----7分
其中；；；；；.
的分布列为：----10分
0
1
2
3
4
5
②由于,则----12分
19．（本小题满分12分）第1问5分，第2问7分。
【解析】（1）如图,连接交于点.,即为等腰三角形, 又平分,故,平面底面,平面底面,
平面,因平面,所以.
（2）作于点,则底面,,以为坐标原点的方向分别为 轴, 轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则,而,得,又,故.
设,则由,得,所以,
由,得,得,
所以,
设平面的法向量为,平面的法向量为,
由,得,因此可取.
由,得,因此可取,
从而法向量的夹角的余弦值为.
由图可知二面角是钝角,故二面角的余弦值为.
考点：直线与平面垂直的判定和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．
20．（本小题满分12分）第1问5分，第2问7分。
下面证明时，恒成立．
当直线的斜率为0时，结论成立；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
由及，得，
所以，∴．
，，
∴=＝
．
综上所述，在轴上存在点使得恒成立．
21．（本小题满分12分）
解：（1），…………………1分
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减。………6分
（Ⅱ）。………………7分
令，， 故要上式成立，只需对，有。
………………8分
（2）由（Ⅰ）可知，
①当时，∴在上单调递增； ∴，符合题意。
②当时，∴在上单调递减； ∴，不符合题意。
③当时，在上单调递减；
∴当时，，不符合题意。
④当时， 在上单调递减；
∴当时，不符合题意。
综上可知，的取值范围为．…………………12分
二选一（本小题满分12分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）由消去参数，得曲线的普通方程为.----3分
由得，曲线的直角坐标方程为. ----5分
（2）设，则点到曲线的距离为
.----8分
当时，有最小值，所以的最小值为.----10分
考点：参数方程、极坐标方程及其与直角坐标之间的互化关系等有关知识的综合运用.
23．选修4-5：不等式选讲
【解析】（1）当时，不等式等价于，解得；----2分
当时，不等式等价于，解得；----3分
当时，不等式等价于，解得，----4分
综上，不等式的解集为. ----5分
（2）
，----7分
解得或，又实数的取值范围是，故，即，
----9分
∴实数的集合是． ----10分
考点：绝对值不等式．
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