韶关市2017届高三调研测试数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、本大题共12小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数，是的共轭复数，则复平面内复数对应的点所在象限为
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）设集合,,则=
（A） （B） （C） （D）
（3）已知为第二象限角，，则
（A） （B） （C） （D）
（4）已知函数则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点， 以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
（6）正方体中，分别是的中点，,则过的平面截该正方体所得的截面周长为
（A） （B）
（C） （D）
（7）执行如图所示的程序框图,则输出
（A） （B）
（C） （D）
（8）下列函数中，最小正周期为 且在是减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（9）若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（10）四棱锥的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥的侧面积等于,则该外接球的表面积是
(A) (B) (C) (D)
（11）已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则下列不等式式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（12）如图，某地区有四个公司分别位于矩形的四个顶点，
且，四个公司商量准备在矩形空地中规划一
个三角形区域种植花草,其中分别在直线上运动，
，设，当三角的面积最小时，此时
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题与选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生必须作答，第2223为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量，，若，则 .
（14）在钝角三角形中，三个内角、、的对边分别为、、且 则边的长为 .
（15）我国古代有着辉煌的数学研究成果。《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、………、《辑古算经》等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期。某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为 .
（16）已知两定点，若圆心在直线上且半径为的动圆上存在一点满足，则点横坐标的取值范围为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
P
B
A
D
C
M
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是线段上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
（19）（本小题满分12分）
随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．
已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小．
（20）（本小题满分12分）
已知点与关于原点对称,直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过作直线交轨迹于另一点,求的面积的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若函数在区间为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．
请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
（22）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)将直线化为直角坐标方程；
(Ⅱ)求曲线上的一点 到直线 的距离的最大值及此时点的坐标.
（23）（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）设关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
2017届高三调研测试数学（文科）
参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
D
A
B
C
B
B
C
B
1、【解析】由已知得:复数,所对应的点为.故选
2、【解析】由；，
所以，即选.
3、【解析】∵，且为第二象限角，∴，，
故选A．
4、【解析】因为，所以，即选.
5、【解析】椭圆中半焦距为，从而双曲线的半实轴长为，半焦距为，所以，所以双曲线方程为，从而其渐近线方程为，所以双曲线的渐近线的斜率为，故选D.
6、【解析】由是棱的中点，易证 ∥，
∥面，由线面平行性质定理，过且过的平面与
面的交线平行于，即为. 由正方体的边长为，
截面是以为腰，为上底， 为下底的等腰梯形，故周长为，故选A.
7、【解析】框图中的，实际是计算，而
所以，选B
8、【解析】最小正周期为 ，可排除D, 在是减函数排除 A、B,故选C
9、【解析】如图当直线经过函数的图像与直线
的交点时，函数的图像仅有一个点P
在可行域内，由得，所以.故选B.
10. 【解析】四棱锥的侧面积 ，，球的半径 ，选B.
11、【解析】由函数是偶函数可知，函数关于直线对称，又
，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以选.
12、【解析】,由题意可知，，则，当时，三角形面积最小. 选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13） （14） （15） （16）
13、【解析】因为，所以，则
14、【解析】由于是钝角三角形，且，由正弦定理得，.
15、【解析】从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率.
16、【解析】设点的坐标为 则，即，所以点的轨迹为圆，而在直线上，所以，即，所以圆的方程为，而在圆上，也在圆
上，所以两圆有公共点，所以，从而解得或 ，故的范围为：
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且 ……………………………………………… ………………2分
解得，．……………………………………………… ………………4分
所以，．…………………………………5分
（2）．，① ………………6分
，② ………………………………………7分
②－①得
………………………9分
……………………… ………………11分
．………………………………………………………12分
P
B
A
D
C
M
O
18、（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
在中，，，，
∵
,即．………………2分
又平面平面，平面平面，
平面，
平面，………………………………………………………………4分
又平面，
平面平面…………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：过作交于，
又∵平面平面，平面平面，平面，
平面…………………………………………………………………6分
线段为四棱锥的高，………………………………………………8分
在四边形中，∵，，
四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
即梯形的高为，………………………………………………10分
梯形的面积为 ………………………………11分
．…………………………………………………12分
19、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，；……1分
当时，，………………………………2分
所以， ………………………………………3分
（Ⅱ）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，
当时，由，得， ………………4分
当时，由， ………………5分
所以，利润不少于万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为 ………………7分
（Ⅲ）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为 （吨）…………9分
由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为 ………………10分
，因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间，于是估计中位数应为 （吨）………12分
20、（本小题满分12分）
解：（1）设点的坐标为，……………………………… ………………1分
因为点与关于原点对称,所以，
因此，直线，的斜率为，
由已知有，………………………………………………3分
化简，得，
所以点的轨迹的方程为．…………………………………4分
（2）当直线的斜率不存在时,则直线的方程为,则点的坐标为，
．……………………………………………5分
当直线的斜率存在时，设斜率为 ,则直线的方程为,
设，
由,消去得,
………………6分
由已知，
所以，由题意,,
则,
………………7分
而原点到直线的距离为， ………………8分
所以
………………9分
因为，所以，且，且，
所以，从而 ………………11分
综上可知，的面积.
………………12分
21、（本小题满分12分）
解：（1）由得， ………………1分
∵函数在区间单调递增
∴在区间恒成立，即在区间恒成立 …………2分
∴，而 ……………………3分
∴ ……………………4分
（2）设切线的方程为，切点为，则，
，所以，，则． ………………5分
由题意知，切线的斜率为，的方程为． …………6分
设与曲线的切点为，则，………7分
所以，． ………………8分
又因为，消去和后，整理得 ………9分
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
若，因为，，所以，
而在上单调递减，所以．
若，因为在上单调递增，且，则，
所以（舍去）．
综上可知，． ………………12分
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22. 解 由，得，
化简得，， ………………………………………1分
由 ，
∴直线的直角坐标方程为. ………………………………………3分
(Ⅱ)由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为……………4分
点到直线的距离为 ……………………………………5分
. …………………………7分
当时，即
. ………………………………………………………………9分
此时，
∴ 点 . ………………………………………………………………10分
23. 解：（I）当时，，
，
上述不等式可化为或或
解得或或 ……………………………………3分
∴或或， ……………………… ……………4分
∴原不等式的解集为. ……………………………………………5分
（II）∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立，…………………………………6分
即在上恒成立，
∴，
即，∴，………………………………………………7分
∴在上恒成立，…………………………………8分
∴， ∴，
所以实数的取值范围是．………………………………………………10分
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