韶关市2017届高三调研测试数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
(A) (B) (C) (D)
（2）已知复数,, 的最小值是
(A) (B) (C) (D)
（3）已知 , 则
(A) (B) (C) (D)
（4）我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、………、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为
(A) (B) (C) (D)
（5）等比数列前项和为，若,则
(A) (B)
(C) (D)
（6）已知点是双曲线右支上一点，是右焦点,若(是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线离心率为
(A) (B)
(C) (D)
（7）执行如图所示的程序框图,则输出
(A) (B) (C) (D)
(8) 若直线上存在点满足约束条件
，则实数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
（9）四棱锥的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥的侧面积等于,则该外接球的表面积是
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，且函数在处取得最小值, 那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
（11）设是圆：上动点，直线过且与圆相切, 若过，两点的抛物线以直线为准线，则抛物线焦点的轨迹是
(A) (B)
(C) (D)
（12）已知不恒为零的函数在定义域上的图象连续不间断，满足条件，且对任意都有，则对下列四个结论：①若且时，，则当时，
；②若对都有，则至少有3个零点；③对恒成立；④. 对恒成立其中正确的结论个数有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3 个 (D) 4个
第Ⅱ卷
本卷必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（22）至（23）是选考题，考生根据要求做答。
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．
（13）已知平面非零向量满足，且，则与的夹角为
（14）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）.
（15）正方体-中，、分别是棱、的中点，若,则过点的平面截该正方体所得的截面面积等于 .
（16）某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险，养路费，汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用______年报废最合算（即年平均费用最少）.
三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
如图，在中，是边的中点，,.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求的面积．
（18）（本小题满分12分）
P
D
C
B
A
F
E
已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是上的中点，是上的动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）直线与平面所成角的正切值为，
当是中点时，求二面角的余弦值．
（19） （本小题满分12分）
随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台. 已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元. 根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示。已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品. 现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.
（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；
（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取，且的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望。
（20） （本小题满分12分）
设椭圆，椭圆短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆：相切，且抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于两点，连接并延长交圆于点，求面积的取值范围.
（21） （本小题满分12分）
. 已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线存在公切线，求a最大值.
（Ⅱ）当时，，且，若在内有零点，求实数b的取值范围.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)将直线化为直角坐标方程；
(Ⅱ)求曲线上的一点 到直线 的距离的最大值及此时点的坐标.
（23）（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）设关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
2017届高三调研测试数学（理科）
参考答案与评分标准
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
C
A
C
D
C
B
B
C
C
D
1.【解析】由得：，
故，即选.
2.【解析】由已知得:复数，所以， ，故选.
3.【解析】 ,选C.
4.【解析】（方法一）从部名著中选择部名著的方法数为（种），2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率. 故选A.
（方法二）从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都不是
魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），由对立事件的概率计算公式得.故选A.
5. 【解析】 由已知可知，， ，所以，,故选C
或由成等比数列，可得.
6.【解析】依题意及三角函数定义,点 ,即，代入双曲线方程 ，又，得 , ,故选D
另解，设左焦点为, 可题意及双曲线几何性质可得, 所以
7.【解析】框图中的，实际是计算，而
所以，选C
8.【解析】如图当直线经过函数的图像与直线
的交点时，函数的图像仅有一个点P
在可行域内，由得，所以.故选B.
9. 【解析】设正方体棱长为，则由的侧面积等于可得，，设是中点，则, 所以，四棱锥外接球球心与正方体外接球球心重合。
，选B
10.【解析】已知函数的图象与直线
的三个相邻交点的横坐标分别是，则函数的周期为，，又函数在处取得最小值,则,所以，故的最小值为,故选C
11.【解析一】设动点，切点，依题意直线方程是，即 由抛物线定义可得 ，
因为，，，所以，
，
以上两式相加并化简得： ，选C
另解：设，两点到直线的距离分别为，
则
又因为，两点在抛物线上，
由定义可知，而，所以由椭圆定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴为的椭圆（除与轴交点）. 选C
12.【解析】由得图象关于轴， ①正确；
，
=0，故至少有3个零点. ②正确；
当时，；当时，则
. ③正确，
设，当时，，
当时，
. ④正确 选D.
二、填空题
（13） ； （14） ； （15）； （16）
13.【解析】因为，所以， 故，即与的夹角为.
14.【解析】在的展开式中:当第一个因式取时,则后一个因式取含的项. 当第一个因式取时,则后一个因式取含的项;
所以的系数为160.
15.【解析】由是棱的中点，易证 ∥，
∥面，由线面平行性质定理，过且过的平面与
面的交线平行于，即为.
由正方体的边长为，可得,
截面是等腰梯形，其高为，其面积
16.【解析】设汽车使用年，费用为，依题意，，，当且仅当，时，最小
17. 解：（Ⅰ）由题意可知，
又 ……… 1分
所以， ……………2分
……4分
，
又， 所以．…………………6分
（Ⅱ）由（1）知，且 所以，，则 …………7分
设，则
在中由余弦定理得， …………9分
解得 ……………………10分
P
D
C
B
A
F
E
故． ……………………12分
18. （Ⅰ）证明：连接
底面为菱形，，
是正三角形，
是中点，
又，……………………………………………………1分
平面，平面，,………………2分
又
平面， ……………………………… …………………3分
又平面
平面平面 ……………………………………4分
P
D
C
B
A
F
E
x
z
y
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………5分
平面，
就是与平面所成的角，…………………6分
在中，，即，
设，则，得，
又，设，则，
所以，
从而， ， ……………………7分
则，，，
所以，，…………8分
设是平面的一个法向量，则
取，得 ………………9分
又平面，是平面的一个法向量，
……………………10分
……………………11分
二面角的余弦值为 ……………………12分
19. 解：
（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得 …………1分
………………3分
（Ⅱ）当时，；………………4分
当时，，…………………………………5分
所以…………………………………………6分
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
所以的分布列为
45
53
61
65
0.1
0.2
0.3
0.4
……………10分
所以，。 ……………12分
20. 解：因为椭圆短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆：相切，
所以， ……………1分
又抛物线其准线方程为，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点，
所以，从而 ……………2分
两式联立，解得，
所以椭圆的方程为 ……………4分
①当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
则，，所以，
从而 ……………5分
②当直线的斜率存在时，设其方程设为，设
联立方程组得,
即,
,即
……………6分
因为直线与圆相切，所以， ∴ ……………7分
……………8分
当时，，因为，
所以，所以。……………9分
因为圆的直径，所以。
……………10分
所以. ……………11分
时，
综上可得面积的取值范围为 ……………12分
21. 解：设公切线l与切于点与切于点.
，
，由①知，①代入②得，即.
由①知
设，
令得；当时，递增.
当时，递减.
时，，.
(2). =
，又在内有零点，在至少有两个极值点，即在内至少有两个零点.
，，
当时，在上，，在上单调增，没有两个零点.
当时，在上，，在上单调减，没有两个零点.
当时，令得，
因当时，时，
在递减，递增.
所以时，最小=
设，令，
得即.当时；当时
当时，最大，恒成立.
因在内有两个零点
综上所述，b的取值范围
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22. 解（Ⅰ） 由，得，
化简得，， ………………………………………1分
由 ，
∴直线的直角坐标方程为. ………………………………………3分
(Ⅱ)由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为……………4分
点到直线的距离为 ………………………………5分
. …………………………7分
当时，即
. ……………………9分
此时，
∴ 点 . ………………10分
23. 解：（I）当时，，
，
上述不等式可化为或或
解得或或 ……………………………………3分
∴或或， ……………………… ……………4分
∴原不等式的解集为. ……………………………………………5分
（II）∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立，…………………………………6分
即在上恒成立，
∴，
即，∴，………………………………………………7分
∴在上恒成立，…………………………………8分
∴， ∴，
所以实数的取值范围是．………………………………………………10分
微信/支付宝扫码支付