江苏省扬州中学高一年级第二学期开学考试
数学试题 2017.2
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1.设全集集合，则 .
2.若函数则 .
3．函数的定义域是 ．
4. 已知，则从小到大的排列为_____________.
5. 在边长为1的正方形中，向量，则向量的夹角为 ________.
6. 已知角终边上有一点,且,则.
7．扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为 ． 11
8．计算：的值是 ．]
9． 若方程在区间内有实数根，则整数的值为 ．
10．已知向量，若，则的值为 ．
11．已知函数，，则函数在区间内的零点个数为 ．
12．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移个单位长度,所得图象关于直线对称，则的最小值为 ．
13. 已知中，点,.若
是锐角三角形，则的取值范围是_____________.
14. 已知函数仅存在整数零点，则实数的集合为_____________.
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标(其中).
0
2
0
0
(Ⅰ) 请写出函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(Ⅱ) 求函数在区间上的取值范围.
16.设，满足
（1）求的值；1111]
（2）求的值.
17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如下表：
1
4
7
12
2291
244
241
196
（1）根据上表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由：；
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
18． 如图，在平面直角坐标系中，点，，锐角的终边与单位圆交于点.
(Ⅰ)当时，求的值；
(Ⅱ)在轴上是否存在定点，使得 恒成立 ?
若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.
19．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：；
（3）若函数在上单调递减，比较 与的大小关系，并说明理由．
20．已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．
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2017开学高一质量检测
1.设全集集合，则 .
{0,2,3}
2.若函数则 .5
3．函数的定义域是 ▲ ． 且；
4. 已知，则从小到大的排列为_____________.
5. 在边长为1的正方形中，向量，则向量的夹角为______.
6. 已知角终边上有一点,且,则.
7．扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为 ． 111；
8．计算：的值是 ． ；]
9． 若方程在区间内有实数根，则整数的值为 ．2
10．已知向量，若，则的值为 ．
11．已知函数，，则函数在区间内的零点个数为 ．5
12．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移个单位长度,所得图象关于直线对称，则的最小值为 ．6
13. 已知中，点,.若是锐角三角形，则的取值范围是_____________.
14. 已知函数仅存在整数零点，则实数的集合为_____________.
14.
15已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标(其中).
0
2
0
0
(Ⅰ) 请写出函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(Ⅱ) 求函数在区间上的取值范围.
解: （I）, ………………………2分
即, 所以.
又, ,
将代入, 有，即.
因为 所以，因此，即.
故. ………………………5分
说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程.
因为函数的单调区间为，
所以令，
即 ，
解得 ，
所以的增区间为. ………………………9分
（II） 因为，所以有，
所以当 时 ，函数取得最大值，
当 时， 函数取得最小值，
所以函数在 上的取值范围为 ………………………14分
16.设，满足
（1）求的值；1111]
（2）求的值.
17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如下表：
1
4
7
12
229111]
244
241
196
（1）根据上表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由：；
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
18． 如图，在平面直角坐标系中，点，，锐角的终边与单位圆交于点.
(Ⅰ)当时，求的值；
(Ⅱ)在轴上是否存在定点，使得 恒成立 ?
若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.
解: （I）. ………………………2分
，
因为，所以，即，
因为为锐角，所以. ………………………7分
(Ⅱ)法一：
设，
则，
，
因为，所以，……………………12分
所以对任意成立，
所以， 所以.
点的横坐标为. ………………………16分
法二：设，
则，
，
因为，
所以，即，
，
因为可以为任意的锐角，不能总成立，
所以，即，点的横坐标为. ………………………16分
19．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：；
（3）若函数在上单调递减，比较 与的大小关系，并说明理由．
19.（1）函数为奇函数. ………………1分
证明如下：
由，解得或
所以函数的定义域为 ………………2分
对任意的，
有，
所以函数为奇函数. ………………4分
（2）任取，且，则
， ………………5分
因为 ，
所以 ，
所以 ， 所以 ，
所以， 所以函数在单调递减；………7分
由得：，
即，
又，，
所以 ， ………………9分
解得：或，
所以原不等式的解集为：. ………………10分
（3）.理由如下： ………………11分
因为 ，1111]
所以 ，…13分
又 在上单调递减，
所以当时，， 所以 ， ………………15分
即 ，
故 . ………………16分
20．已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．
【解答】解：（1）方法一：
当a=﹣1时，（2 分）
由f（x）=1得或（2 分）
解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．
方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2
即解集为{0，1，﹣2}． （ 5分）
（2）
当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，
∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0
得，
且
先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．
当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，
∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0
得，
同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．
综上可知当时，f（x）存在三个不同零点． （ 10分）
且
设，易知g（a）在上单调递增，
故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）． （ 16分）
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