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2017～2018学年度 高三第一次联考
理 科 数 学
本试卷共4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.
参考公式： ，其中表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.，，则（ ）
A . B. C. D.
2．如果复数是纯虚数,那么实数等于（ ）
A． B． C．或 D．或
3．设满足约束条件，则目标函数最大值是（ ）
A．3； B．4； C．6； D.8
4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）
（附：正态分布中，）
A． B. C． D.
5．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列有关命题的说法正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题为:“若,则”.
B. “”是“”的必要不充分条件．
C. 命题“,使得”的否定是:“,均有”.
D. 命题“若,则”的逆否命题为真命题.
7．已知函数在处取得最大值，则函数的图象（ ）
A.关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
8．函数的导函数在区间上的图像大致是（ ）
9．二项式展开式中,除常数项外,各项系数的和为（ ）
A. B. C. D.
10.某一简单几何体的三视图如图1所示,该几何体的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A . B. C. D .
12. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
图2
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.设向量、满足:,,,则与的夹角是____.
14.公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增
加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割
圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著
名的“徽率”.如图2是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框
图,则输出的值为____.
(参考数据:,
15.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,
则______.
16．在△中，点在边上，，，,，则的长为 ．
三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知是递增数列，其前项和为，，且，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平
面与棱交于点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19.(本小题满分12分)
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为．
(Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
(Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
20.(本小题满分12分)
已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．
21.(本小题满分12分)
已知函数，.
（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：，,,）.
请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.
22.(本小题满分10分)选修:坐标系与参数方程选讲
已知曲线C 的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；
(Ⅱ)设，若l 1 、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B ，求△AOB的面积.
23. (本小题满分10分)选修:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时，求的解集；
(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.
2018届七校第一次联考理科数学参考答案与评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
C
D
A
A
B
C
C
D
12.【解析】D；画出图像，显然可以排除A、B选项.由题，，所以的方程为，因为 也与函数的图象相切，令切点坐标为，所以的方程为，这样有，所以，,令，，又因为，所以在上单调增，又，，，从而，选D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 14. ； 15. ； 16. ；
16.【解析】；在△中，因为，设，则．在△中，因为，，，所以． 在△中，因为，，，
由余弦定理得．因为
，
所以，即．解得．所以的长为.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(Ⅰ)，得，解得，或．
由于，所以．.…………1分
因为，所以.
故，.…………3分
整理，得，即．.
因为是递增数列，且，故，因此．…………5分
则数列是以2为首项，为公差的等差数列.
所以.……………………………6分
（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：
假设存在，使得，…………………8分
则．…………………9分
整理，得， ①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数不存在．…………………12分
18.【解析】(Ⅰ)∵底面是菱形，∴，
又∵面，面，
∴面，…………2分
又∵，，，四点共面，且平面平面，
∴；…………4分
(Ⅱ) 取中点，连接，，∵，∴，
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，∴，
在菱形中，∵，，是中点，
∴，…………………6分
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
又∵，点是棱中点，
∴点是棱中点，
∴，，
,，……………8分
设平面的法向量为，则有，∴ ，
不妨令，则平面的一个法向量为，…………………10分
∵平面，∴是平面的一个法向量，
∵，
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．………………12分
19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为，由题意，，…………2分
基地收益的可能取值为，则，，
，………………………………………4分
20
15
10
∴基地收益的分布列为：
，…………………………5分
∴基地的预期收益为万元．……………………………………………6分
(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为万元，
则其预期收益（万元），…………………8分
，…………………9分
综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．……………………12分
20.【解析】(Ⅰ)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。 ……2分
，抛物线方程为： ……3分
（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．
由题意可设直线的方程为 ，
由得.
.…………………5分
因为直线与曲线于两点，所以，．
所以点的坐标为.…………………6分
由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.…………………
7分
当时，有，此时直线的斜率.……8分
所以，直线的方程为，
整理得.
于是，直线恒过定点；
当时，直线的方程为，也过点．
综上所述，直线恒过定点． …………………10分
（Ⅲ）可求的，
所以面积.
当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为．……………12分
21.【解析】(Ⅰ)函数与无公共点，等价于方程在无解.…2分
令，则令得
＋
0
－
增
极大值
减
因为是唯一的极大值点，故 ………………4分
故要使方程在无解，当且仅当
故实数的取值范围为 …………………6分
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立. …………………6分
令，则，
令，则， ……………7分
因为在上单调递增，，，且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则 ………9分
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
则取到最小值，
所以，即在区间内单调递增. …………………11分
，
所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. …… ………12分
22.【解析】(Ⅰ)∵曲线的参数方程为 (为参数)
∴曲线的普通方程为 …………2分
将 代入并化简得：
即曲线的极坐标方程为. …………5分
（Ⅱ）在极坐标系中，
∴由得到 …………7分
同理. ………… 9分
又∵ ∴.
即的面积为. …………10分
23.【解析】(Ⅰ) 当时，由，可得，
①或②或③…………………3分
解①得；解②得；解③得.…………………4分
综上所述，不等式的解集为. …………………5分
（Ⅱ）若当时，成立，
即. …………………6分
故，
即，…………………8分
对时成立.
. …………………10分
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