安徽省合肥市2018届高三调研性检测试题
数学理
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.执行如图的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．9 B．19 C．33 D．51
4.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．72 B．144 C. 216 D．
6. 在中，角对应的边分别为，，则的面积为（ ）
A． B． C. D．
7. 已知满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．0 B．4 C. 5 D．6
8. 已知函数的图象向右平移个单位后，所得的图象关于轴对称，则的最小正值为（ ）
A．1 B．2 C. 3 D．4
9.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）
A．250个 B．249个 C. 48个 D．24个
10.函数的图象大致是（ ）
A． B．
C. D．
11.已知，则的最小值为（ ）
A． B．4 C. D．
12.已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平行线且相交于点，则的面积为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 命题，使得，则是 ．
14. 已知，若，则 ．
15.展开式中的系数为720，则 ．
16.已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若，求函数在的值域.
18. 近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构通过对使用者的调查得出，现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示：
（Ⅰ）求出这组数据的平均数和中位数；
（Ⅱ）某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.
19. 数列满足.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.
20. 平行四边形中，,为等边三角形，现将沿翻折得到四面体，点分别为的中点.
（Ⅰ）求证：四边形为矩形；
（Ⅱ）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
22. 已知函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）求证：.
试卷答案
一、选择题
1-5: ABCBA 6-10: ABBCD 11、12：DC
二、填空题
13. 14. 1 15. 16.
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）依题意，
∴,
∴
（Ⅱ），
∵∴，
∴.
∴函数的值域为.
18.解：（Ⅰ）平均数；
8个数按从小到大的顺序排列为：73,77,79,82,84,86,90,93.这组数据最中间的两个数的平均数为，故这组数据的中位数为83.
（Ⅱ）满意度指数超过80的品牌有5个，从中任选两个有种，其中所选两个品牌的满意度指数均超过85的有种，故所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率为.
19. 解：（Ⅰ）若，则，这与矛盾，
∴，
由已知得，
∴，
故数列是以为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
由可知.又
∴ ∴，
∴，
则，
∴，
∴
20. 解：（Ⅰ）∵点分别为的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形.
取的中点，连结.
∵为等腰直角三角形，为正三角形，
∴,
∴平面.
又∵平面，∴，
由且可得，
∴四边形为矩形.
（Ⅱ）由平面
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意，设，则，
∴.
设为平面的一个法向量，则有
令，则.
∴直线与平面所成角的正弦值
.
21. 解：（Ⅰ）设依题意，且，
∵,即,
则有.
又∵为椭圆上的点，
可得，即，
即动点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）依题意，设
∵为圆的直径，则有，故的斜率满足，
，
∵点不同于两点且直线的斜率存在，故且，
在和都是单调减函数，
的范围为，
故.
22. 解：（Ⅰ）由已知的定义域为，
,
设，则，得，
∴在上是减函数，在上是增函数，
∴
∴在和上都是增函数.
（Ⅱ）设，
则，得，
∴在上是减函数，在上是增函数，
∴，即.
①当时，，
∵在上是增函数，
∴，即，∴.
②当时，，∵在上是增函数，
∴，即，∴.
③当时，
由①②③可知，对一切，有，即.
微信/支付宝扫码支付