专题06 函数的图像与性质
一、选择题
1.（2017浙江衢州市第8题）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB⊥轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C．
考点：反比例函数系数k的几何意义.
2.（2017山东德州第7题）下列函数中，对于任意实数，，当＞时，满足＜的是（ ）
A．y=-3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A．y=-3x+2 ，k=-3,y与x变化相反，正确；
B．y=2x+1 ，k =2，y与x变化一致，错误；
C．y=2x2+1 ，在对称轴左边，y与x变化相反，在对称轴右边，y与x变化一致，错误；
D．，在每个象限，y与x变化一致，错误；
故选A.
考点:函数的增减性
3. （2017山东德州第9题）公式表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【答案】A
【解析】
试题分析：A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；
故选A
考点:一次函数的应用
4.（2017浙江宁波第10题）抛物线(是常数)的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】
试题解析：
=（x-1）2+m2+1
∴顶点坐标为（1，m2+1）
∵m2≥0
∴m2+1≥1
∴抛物线(是常数)的顶点在第一象限.
故选A.
考点：二次函数的图象.
5.（2017甘肃庆阳第7题）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】A
考点：一次函数图象与系数的关系．
6. （2017甘肃庆阳第10题）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B．
【解析】
试题解析：
点P运动2.5秒时P点运动了5cm，
CP=8-5=3cm，
由勾股定理，得
PQ=cm，
故选B．
考点：动点函数图象问题.
7.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是
（ ）
A． B．
C. D．
【答案】C
【解析】
试题解析：由图象，得y=2x2﹣2，
由平移规律，得y=2（x﹣1）2+1，
故选：C．
考点：二次函数图象与几何变换．
8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
①正确；
∵﹣=﹣1，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴②是正确；
∵当x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
③错误；
∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误
∴正确的有①②两个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系．
9.（2017湖南怀化第8题）一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点、，则的面积是( )
A. B. C.4 D.8
【答案】B.
【解析】
试题解析：∵一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），
∴3=4+m，
解得m=﹣1，
∴y=﹣2x﹣1，
∵当x=0时，y=﹣1，
∴与y轴交点B（0，﹣1），
∵当y=0时，x=﹣，
∴与x轴交点A（﹣，0），
∴△AOB的面积：V×1×=．
故选B．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
10.（2017湖南怀化第10题）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】D
【解析】
试题解析：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，
∵S△AOC=S△AOE+S△COE，
∴AC•OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①，
∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，
∴BD•OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②，
由①②两式解得OE=1，
则k1﹣k2=2．
故选D．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
11.（2017江苏无锡第2题）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2
【答案】A．
考点：函数自变量的取值范围．
12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．y＝ (x−2)2−2 B．y＝ (x−2)2+7 C．y＝ (x−2)2−5 D．y＝ (x−2)2+4
【答案】D．
【解析】
试题解析：∵函数y=（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m=（1-2）2+1=1，n=（4-2）2+1=3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC=4-1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=（x-2）2+4．
故选D．
考点：二次函数图象与几何变换．
13.（2017甘肃兰州第11题）如图，反比例函数与一次函数的图像交于、两点的横坐标分别为、，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.或
【答案】B
【解析】
试题解析：∵反比例函数与一次函数y=x+4的图象交于A点的横坐标为﹣3，
∴点A的纵坐标y=﹣3+4=1，
∴k=xy=﹣3，
∴关于x的不等式的解集即不等式﹣＜x+4（x＜0）的解集，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴关于x的不等式的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
14.（2017甘肃兰州第15题）如图1，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点做，交于点，设点运动路程为，，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是( )
图1 图2
A. B. C.6 D.
【答案】B
【解析】
试题解析：若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
∵在△CFE和△BEA中，，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时
BE=CE=x﹣ ，即，
∴y=，当y=时，代入方程式解得：x1=（舍去），x2=，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，
∴矩形ABCD的面积为2×=5；
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C．
【解析】
试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
16.（2017山东烟台第11题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；②；③；④.
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C. ①②③ D．①②③④
【答案】C．
【解析】
试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
考点：函数的概念.
18.（2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
【解析】
试题解析：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系．
19.（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），
∴3=a（1﹣4）2﹣3，
解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，
∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=﹣3，
故B（﹣3，3），D（﹣1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x﹣4）2﹣3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
考点：二次函数的图象与性质.
20.（2017四川自贡第12题）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2= （k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D.
【解析】
试题解析：如图所示：
若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．
故选D．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题.
21. （2017江苏徐州第7题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为 （ ）
A． B．或
C. D．或
【答案】B．
【解析】
试题解析：不等式kx+b＞的解集为：-6＜x＜0或x＞2，
故选B．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
22. （2017江苏徐州第8题）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C. D．
【答案】A．
【解析】
试题解析：∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选A．
考点：抛物线与x轴的交点．
23.（2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C．
【解析】
试题解析：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，
当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，
∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，
当x=n时，y=n2-6n+10，
（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，
∵n是整数，
∴2n-4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；
故选C．
考点：二次函数的性质.
二、填空题
1.（2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________
【答案】．
【解析】
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ=．
考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.
2.（2017浙江宁波第17题）已知的三个顶点为，，，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为
.
【答案】m=4或m=0.5．
【解析】
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.坐标与图形变化-平移．
3.（2017重庆A卷第17题）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 米．
【答案】180.
【解析】
试题解析：由题意可得，
甲的速度为：（2380﹣2080）÷5=60米/分，
乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60=70米/分，
则乙从B到A地用的时间为：2380÷70=34分钟，
他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟，
∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，
∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米.
考点：一次函数的应用.
4.（2017广西贵港第18题）如图，过作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】2≤k≤9
【解析】
试题解析：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；
把y=﹣x+6代入y=得：﹣x+6=，
x2﹣6x+k=0，
△=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k，
∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，
∴36﹣4k≥0，
k≤9，
即k的范围是2≤k≤9
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
5.（2017贵州安顺第12题）在函数中，自变量x的取值范围 ．
【答案】x≥1且x≠2．
【解析】
试题解析：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
考点：函数自变量的取值范围．
6.（2017湖北武汉第16题）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2
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