2017年中考数学试题分项版解析汇编第02期专题10四边形含解析.doc

专题10：四边形 一、选择题 ‎1.(2017北京第6题)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）‎ A． 6 B． ‎12 C. 16 D．18‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设多边形的边数为n,则有（n-2）×180°=n×150°,解得：n=12.故选B.‎ 考点：多边形的内角与外角 ‎2. (2017河南第7题)如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C.‎ 考点：菱形的判定.‎ ‎3. （2017湖南长沙第10题）如图，菱形的对角线的长分别为，则这个菱形的周长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA=3，OB=4，根据勾股定理可知AB=5，所以菱形的周长为4×5=20.‎ 故选：D 考点：菱形的性质 ‎4. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．随点位置的变化而变化 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设正方形ABCD的边长为‎2a，正方形的周长为m=‎8a，‎ 设CM=x，DE=y，则DM=‎2a-x，EM=‎2a-y，‎ ‎∵∠EMG=90°，‎ ‎∴∠DME+∠CMG=90°．‎ ‎∵∠DME+∠DEM=90°，‎ ‎∴∠DEM=∠CMG，‎ 又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，‎ ‎∴,即 ‎∴CG= ‎ ‎△CMG的周长为CM+CG+MG= ‎ 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2‎ 即（‎2a-x）2+y2=（‎2a-y）2‎ 整理得4ax-x2=4ay ‎∴CM+MG+CG==n．‎ 所以 故选：B．‎ 考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理 ‎5. （2017山东临沂第7题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据多边形的外角和为360°，可知其内角和为720°，因此可根据多边形的内角和公式（n-2）·180°=720°，解得n=6，故是六边形.‎ 故选：C 考点：多边形的内外角和 ‎6. （2017山东临沂第12题）在中，点是边上的点（与、两点不重合），过点作，，分别交，于、两点，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可知：，，可得四边形AEDF是平行四边形.‎ 若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；‎ 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；‎ 若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；‎ 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确．‎ 故选：D 考点：特殊平行四边形的判定 ‎7. （2017山东青岛第7题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、平行四边形的性质，2、勾股定理，3、面积法求线段长度 ‎8. (2017四川泸州第11题)如图，在矩形中，点是边的中点，,垂足为，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由AD∥BC可得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的性质可得 ，因点是边的中点且AD=BC,所以=2，设EF=x，可得AF=2x，在Rt△ABE中，由射影定理可得BF= ，再由=2可得DF=2，在Rt△DEF中，= ，故选A.‎ ‎9. （2017江苏苏州第10题）如图，在菱形中，，，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为 A． B． C. D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作 ‎ 在菱形中，，,是的中点 ‎ ‎ ‎ 是的中点， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案选A.‎ 考点：平行四边形的面积，三角函数.‎ ‎10.（2017江苏苏州第7题）如图，在正五边形中，连接，则的度数为 A． B． C. D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：= 故答案选B.‎ 考点：多边形的外角，等腰三角形的两底角相等 ‎11.（2017浙江台州第10题） 如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，，将分别沿折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为 （ ）‎ A． B．‎2 C. D．4‎ ‎【答案】A 考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）‎ 二、填空题 ‎1.(2017天津第17题)如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点分别在边上，为的中点，连接，则的长为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连结AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连结FG交AC于点M，因正方形和正方形的边长分别为3和1，根据勾股定理可求得EC=FG=,AC=3,即可得AE=2,因为的中点，可得PE=AP=,再由正方形的性质可得GM=EM= ,FG垂直于AC，在Rt△PGM中，PM= ,由勾股定理即可求得PG=.‎ ‎2.(2017福建第15题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于 度．‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.‎ ‎3.（2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：‎ ‎①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M 在 中， ‎ ‎ 是线段AB的三等分点， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是OA的中点，故①正确.‎ ‎ ‎ ‎ 不是菱形. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 和 不相似.‎ 则②错误；‎ 由①得，点G是AB的中点， 是 的中位线 ‎ ‎ ‎ 是OB的三等分点， ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎ 四边形 是梯形 ‎ ‎ 则③正确 ‎ ,故④错误.‎ 综上：①③正确.‎ 考点： 平行四边形和相似三角形的综合运用 ‎4.（2017广东广州第11题）如图6，四边形中，，则___________.‎ ‎【答案】70°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：两直线平行，同旁内角互补，可得：180°-110°＝70°‎ 考点：平行线的性质 ‎5.（2017山东临沂第18题）在中，对角线，相交于点.若，，，则的面积是 ．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC=，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD的面积=CD•AC=24．‎ 故答案为：24.‎ 考点：1、平行四边形的性质，2、三角函数，3、勾股定理 ‎6.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图 由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.‎ 故答案为：32.‎ 考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质 ‎7.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】由折叠的性质可得DH=EH，设AH=x，则DH=EH=8-x，在Rt△AEH中，根据勾股定理可得 ，解得x=3，即可得AH=3，EH=5；根据已知条件易证△AEH∽△‎ BFE，根据相似三角形的性质可得 ,即，解得BF= ,EF= ,所以△EBF的周长为2++=8. ‎ ‎8.(2017江苏宿迁第15题)如图，正方形的边长为，点在边上，且．若点在对角线上移动，则的最小值是 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】.‎ ‎9.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，过点C作MNBG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=‎ ‎，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=.‎ 考点：四边形与旋转的综合题.‎ ‎10．（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则 （结果保留根号）．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接AG,设DG=x,则 ‎ 在 中， ，则 ‎ ‎ ‎ 考点：旋转的性质 ，勾股定理 .‎ ‎11. (2017山东菏泽第11题)菱形中，，其周长为，则菱形的面积为____.‎ ‎【答案】18.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，连接BD，作DE⊥AB,已知菱形的周长为，根据菱形的性质可得AB=6;再由，即可判定△ABD是等边三角形；求得DE=,所以菱形的面积为：6×=18.‎ ‎12. （2017浙江湖州第13题）已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．‎ ‎【答案】5‎ 考点：多边形的外角和 三、解答题 ‎1. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“‎ 从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,‎ ‎（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）‎ 请根据上图完成这个推论的证明过程．‎ 证明：，（____________+____________）．‎ 易知，，_____________=______________，______________=_____________．‎ 可得． ‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可.‎ 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：‎ ‎ , ∴ , ∴ .‎ 考点：矩形的性质，三角形面积计算.‎ ‎2. (2017北京第22题)如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接.‎ ‎（1）求证：四边形为菱形；‎ ‎（2）连接，若平分，求的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.‎ 本题解析：(1)证明：∵E为AD中点，AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE∴BE=ED, ∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在RT△ACD中，AD=2，CD=1，AC= .‎ 考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.‎ ‎3. (2017天津第24题)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点（点不与点重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点.‎ ‎（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；‎ ‎（2）如图②，当为中点时，求的长；‎ ‎（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.‎ ‎【答案】（1）点A’的坐标为（，1）；（2）1；（3）或 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因点，点，可得OA= ,OB=1，根据折叠的性质可得△A’OP≌△AOP，由全等三角形的性质可得OA’=OA=,在Rt△A’OB中，根据勾股定理求得的长，即可求得点A的坐标；（2）在Rt△AOB中，根据勾股定理求得AB=2，再证△BOP是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA’B是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得的长；‎ 试题解析：（1）因点，点，‎ ‎∴OA= ,OB=1.‎ 根据题意，由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP.‎ ‎∴OA’=OA=,‎ 由，得∠A’BO=90°. ‎ 在Rt△A’OB中，,‎ ‎∴点A’的坐标为（，1）.‎ ‎(2) 在Rt△AOB中，OA= ,OB=1,‎ ‎∴‎ ‎∵当为中点，‎ ‎∴AP=BP=1,OP=AB=1.‎ ‎∴OP=OB=BP,‎ ‎∴△BOP是等边三角形 ‎∴∠BOP=∠BPO=60°，‎ ‎∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.‎ 由（1）知，△A’OP≌△AOP，‎ ‎∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，‎ 又OB=PA’=1，‎ ‎∴四边形OPA’B是平行四边形.‎ ‎∴A’B=OP=1.‎ ‎(3)或 .‎ ‎4. (2017福建第24题)如图，矩形中，，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形．‎ ‎（Ⅰ）若是等腰三角形时，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或；（Ⅱ）CF=‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；‎ ‎（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得 ，由AP= ，从而可得CF= .‎ 试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC= =10；‎ 要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：‎ ‎（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；‎ ‎（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；‎ ‎（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC= AD·DC= AC·DQ，∴DQ= ，∴CQ= ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= .‎ 综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；‎ ‎（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，‎ ‎∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC= ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF= PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴ ，∵AP= ，∴CF= .‎ ‎5. （2017广东广州第24题）如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）连接，若，．‎ ‎①求的值；‎ ‎②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）① ②和 走完全程所需时间为 ‎ ‎【解析】‎ ‎（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ‎ ‎ 关于 的对称图形为 ‎ ‎ ‎ ‎ 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点 ‎ 为 的中位线 ‎ 同理可得： 为 的中点， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ②过点P作 交 于点 ‎ ‎ 由 运动到 所需的时间为3s ‎ 由①可得， ‎ ‎ 点O以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A 即： ‎ ‎ 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.‎ ‎ 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.‎ ‎ ‎ ‎ 在 中，设 ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ 和 走完全程所需时间为 ‎ 考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置 ‎6. （2017山东青岛第24题）（本小题满分12分） ‎ 已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝‎6cm，BC＝FP＝‎8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为‎1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为‎1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：‎ ‎（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？‎ ‎（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；‎ （4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）t= ；（2） （3）t=2，9:8（4）t= ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用△CPQ∽△CBD，列比例式求出t的值；‎ ‎（2）利用△MDQ∽△CBD，得MD=（6-t），再利用，可求得函数的解析式；‎ ‎（3）利用=9:8得方程求解；‎ ‎（4）利用△PBG∽△PEF，得AG、AM，作MN⊥BC，构造矩形MNCD，则MN=6，PN=（8-t）-（6-t）=，然后根据AG2+AN2=PN2+MN2可列方程求解.‎ 试题解析：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，可得，即，解得t=；‎ ‎（2）由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，可得∠MQD=∠CBD，‎ 又∠MDQ=∠C=90°，∴△MDQ∽△CBD ，‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ 解得MD=（6-t），‎ 所以 ‎= ‎ ‎= ‎ 即 ‎（3）假使存在t，使 则，即 整理得，解得 答：当t=2，‎ ‎ ‎ ‎（4）易证△PBG∽△PEF，‎ ‎∴，即，∴‎ 则 作MN⊥BC于N点，则四边形MNCD为矩形 所以MN=CD=6，CN=，故：PN=‎ 若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，‎ 所以，所以 即：‎ 整理得：，解得。‎ 考点：1、矩形，2、相似三角形，3、二次函数，4、运动型 ‎7. （2017山东青岛第21题）（本小题满分8分）‎ 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．‎ ‎（1）求证：△ BCE≌△DCF；‎ ‎（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用SAS证明△ BCE≌△DCF；‎ ‎（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。‎ 试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形 ‎∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D 又E、F分别是AB、AD中点，∴BE=DF ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）‎ 考点：1、菱形，2、全等三角形，3、正方形 ‎8. (2017山东滨州第22题)（本小题满分10分）‎ 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． ‎ ‎（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；‎ ‎（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）60°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四边形ABCD为平行四边形，可得BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质可得AB＝BE，即可得BE＝AF，所以四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形；（2）连接BF，已知四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，OA＝AE＝．再由菱形ABEF的周长为16，可得AF＝4．所以cos∠OAF＝＝．即可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行线的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．‎ ‎∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF为平行四边形．‎ ‎∴四边形ABEF为菱形．‎ ‎（2）连接BF，‎ ‎∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．‎ ‎∴OA＝AE＝．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．‎ ‎∴cos∠OAF＝＝．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．‎ ‎9. (2017山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．‎ ‎（1）求证：△DCA≌△EAC；‎ ‎（2）只需添加一个条件，即　 　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．‎ ‎【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC（答案不唯一）．‎ 试题分析：（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在△DCA和△EAC中，，‎ ‎∴△DCA≌△EAC（SSS）；‎ ‎（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：‎ ‎∵AB=DC，AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵CE⊥AE，‎ ‎∴∠E=90°，‎ 由（1）得：△DCA≌△EAC，‎ ‎∴∠D=∠E=90°，‎ ‎∴四边形ABCD为矩形；‎ 考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．‎ ‎10. (2017辽宁沈阳第18题)如图，在菱形中，过点做于点，做于点 ‎，连接，‎ 求证：（1）;‎ ‎（2）‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，，再由，，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ∵菱形，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2) ∵菱形，‎ ‎∴AB=CB ‎∵‎ ‎∴AE=CF ‎∴BE=BF ‎∴‎ 考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.‎ ‎11. (2017辽宁沈阳第24题)四边形是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接 ‎（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长；‎ ‎（2）如图2，当点在线段上时，‎ ‎①求点到的距离 ‎②求的长 ‎（3）若，请直接写出此时的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)BF=4;(2)①点到的距离为3；②BF=；(3)AE=2+或AE=1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）过点F作FMBA, 交BA的延长线于点M，根据勾股定理求得AC=,又因点与点重合，可得△AFM为等腰直角三角形且AF=,再由勾股定理求得AM=FM=4,在Rt△BFM中，由勾股定理即可求得BF=4;（2）①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，根据已知条件易证，根据全等三角形的性质可得FH=ED，又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3，即点到的距离为3；②延长FH交BC的延长线于点K，求得FK和BK的长，在Rt△BFK中，根据勾股定理即可求得BF的长；（3）分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)BF=4;‎ ‎(2) 如图，‎ ‎①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，‎ ‎∵四边形CEFG是正方形 ‎∴EC=EF,∠FEC=90°‎ ‎∴∠DEC+∠FEH=90°，‎ 又因四边形是正方形 ‎∴∠ADC=90°‎ ‎∴∠DEC+∠ECD=90°，‎ ‎∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，‎ ‎∴‎ ‎∴FH=ED ‎∵AD=4,AE=1,‎ ‎∴ED=AD-AE=4-1=3,‎ ‎∴FH=3，‎ 即点到的距离为3.‎ ‎②延长FH交BC的延长线于点K，‎ ‎∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，‎ ‎∴四边形CDHK为矩形，‎ ‎∴HK=CD=4,‎ ‎∴FK=FH+HK=3+4=7‎ ‎∵‎ ‎∴EH=CD=AD=4‎ ‎∴AE=DH=CK=1‎ ‎∴BK=BC+CK=4+1=5,‎ 在Rt△BFK中，BF=‎ ‎(3)AE=2+或AE=1.‎ 考点：四边形综合题.‎ ‎12. (2017江苏宿迁第26题)（本题满分10分）‎ 如图，在矩形纸片中，已知，，点在边上移动，连接，将多边形沿直线折叠，得到多边形，点、的对应点分别为点、．‎ ‎（1）当恰好经过点时（如图1），求线段的长；‎ ‎（2）若分别交边、于点、，且（如图2），求的面积；‎ ‎（3）在点从点移动到点的过程中，求点运动的路径长．‎ ‎【答案】(1) ；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎(1)如图1，由折叠得，,,,,‎ 由勾股定理得，,‎ 所以，‎ 因为,所以 ,‎ 又因,所以 又，所以 所以,即，所以 ‎ ‎(2)如图2-1，连接AC，因为∠BAC=，所以∠BAC=60°，‎ 故∠DAC=30°，又，所以,‎ 由折叠得，,所以,‎ 所以,即,,‎ 因为,所以;‎ ‎(3) 如图2-2，连接A，则,‎ 所以点的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧；当点E运动到点D时，点恰好在CD的延长线上，此时,‎ 所以点的运动路径长是.‎ ‎13. (2017山东菏泽第23题)正方形的边长为，点分别是线段上的动点，连接并延长，交边于，过作，垂足为，交边于点.‎ ‎（1）如图1，若点与点重合，求证：；‎ ‎（2）如图2，若点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为.‎ ‎①设,求关于t的函数表达式；‎ ‎②当时，连接，求的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①；②5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据已知条件易证△ABF≌△NAD，由全等三角形的性质即可得；（2）‎ 先证△ABF∽△NAD，根据全等三角形的性质求得；（3）利用△ABF∽△NAD，求得t=2，根据（2）的函数解析式求得BF的长，再由勾股定理即可得FN的长.‎ 试题解析：‎ ‎【解】‎ ‎（1）∵正方形 ‎∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°‎ ‎∵‎ ‎∴∠NAH+∠ANH=90°‎ ‎∵∠NDA+∠ANH=90°‎ ‎∴∠NAH=∠NDA ‎∴△ABF≌△NAD ‎∴‎ ‎（2）①∵正方形 ‎∴AD∥BF ‎∴∠ADE=∠FBE ‎∵∠AED=∠BEF ‎∴△EBF∽△EAD ‎∴‎ ‎∵正方形 ‎∴AD=DC=CB=6‎ ‎∴BD=‎ ‎∵点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为.‎ ‎∴BE=，DE=‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎②当时，连接，求的长.‎ ‎∵正方形 ‎∴∠MAN=∠FBA=90°‎ ‎∵‎ ‎∴∠NAH+∠ANH=90°‎ ‎∵∠NMA+∠ANH=90°‎ ‎∴∠NAH=∠NMA ‎∴△ABF∽△NAD ‎∴‎ ‎∵，AB=6‎ ‎∴AN=2,BN=4‎ ‎∴‎ ‎∴t=2‎ 把t=2代入，得y=3，即BF=3,‎ 在RT△BFN中，BF=3,BN=4,‎ 根据勾股定理即可得FN=5.‎ ‎14. (2017山东菏泽第17题)如图，是的边的中点，连接并延长交的延长线于，若，求的长.‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：先证明△AEF≌△DEC,根据全等三角形的性质可得AF=，再利用平行四边形的性质证得AB=CD=6，根据=AF+AB即可求得BF的长.‎ ‎【解】‎ ‎∵‎ ‎∴AF∥DC ‎∴∠F=∠DCF ‎∵是的边的中点 ‎∴AE=DE ‎∵∠AEF=∠DEC ‎∴△AEF≌△DEC ‎∴AF=‎ ‎∵‎ ‎∴AB=CD=6‎ 即=AF+AB=12.‎ ‎15. (2017浙江舟山第23题)如图是的中线，是线段上一点（不与点重合），‎ 交于点，，连结.‎ ‎（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.‎ ‎（3）如图3，延长交于点，若，且.当，时，求的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）结论成立，理由详见解析；（3）DH=1+.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD≅△EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.（2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得；（3）在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM；设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可. ‎ 试题解析：（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，‎ ‎∵CE//AM， ∴∠ECD=∠ADB， 又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC， ∴△ABD≅△EDC， ∴AB=ED，又∵AB//ED, ∴四边形ABDE为平行四边形。‎ ‎（2）解：结论成立，理由如下： 过点M作MG//DE交EC于点G， ∵CE//AM， ∴四边形DMGE为平行四边形， ∴ED=GM且ED//GM， 由（1）可得AB=GM且AB//GM， ∴AB=ED且AB//ED. ∴四边形ABDE为平行四边形. （3）‎ 解：取线段HC的中点I，连结MI， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI//BH,MI=BH， 又∵BH⊥AC，且BH=AM， ∴MI=AM，MI⊥AC， ∴∠CAM=30° 设DH=x,则AH=x，AD=2x, ∴AM=4+2x，∴BH=4+2x, 由（2）已证四边形ABDE为平行四边形， ∴FD//AB， ∴△HDF~△HBA， ‎ ‎∴， 即 解得x=1±（负根不合题意，舍去） ∴DH=1+.‎ 考点：平行四边形的判定与性质 ‎16. （2017浙江湖州第22题） （本小题10分）‎ 已知正方形的对角线，相交于点．‎ ‎（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；‎ ‎（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，‎ ①求证：；‎ ②当时，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定（ASA）与性质求证即可；‎ ‎（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论；‎ ‎②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定与性质可得，然后列方程求解即可.‎ ‎（2）①证明：∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°‎ 又OE=OG ‎∴△DOG≌△COE（SAS）‎ ‎∴∠ODG=∠OCE ‎②解：设CH=x，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，AB=1‎ ‎∴BH=1-x ‎∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°‎ ‎∵EH⊥BC ‎∴∠BEH=∠EBH=45°‎ ‎∴EH=BH=1-x ‎∵∠ODG=∠OCE ‎∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE ‎∴∠HDC=∠ECH ‎∵EH⊥BC ‎∴∠EHC=∠HCD=90°‎ ‎∴△CHE∽△DCH ‎∴ ‎ ‎∴HC2=EH·CD 得x2+x-1=0‎ 解得，（舍去）‎ ‎∴HC=‎ 考点：1、正方形的性质，2、全等三角形的判定与性质，3、相似三角形的判定与性质，4、解一元二次方程 ‎17. (2017湖南湘潭第20题)如图，在中，连接并延长交的延长线于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的度数.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）108°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用AAS或ASA,证明．（2）先证明△ABF是等腰三角形，再求的度数.‎ 试题解析：‎ （1） ‎∵‎ ‎∴AD∥DF ‎∴∠ADE=∠EFC ‎∵，∠AED=∠CEF ‎∴‎ （1） ‎∵‎ ‎∴AD=BC ‎∵‎ ‎∴AD=FC ‎∴FC=BC ‎∵‎ ‎∴AB=BF ‎∵‎ ‎∴=108°‎