专题11：圆
一、选择题
1.(2017福建第8题)如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.
2. (2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：连接O、B，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB为菱形，且∠OB=∠OB=60°，又因∠A =∠AB=120°，所以∠B =120°，因∠OB+∠B =120°+60°=180°，即可得O、、三点共线，又因=B，可得∠ B=∠ B ，再由∠OB=∠ B+∠ B =60°，可得∠ B=∠ B =30°，所以△OB为Rt三角形，由锐角三角函数即可求得B= ,所以，故选C.
考点：扇形的面积计算.
3. （2017广东广州第9题）如图5，在中，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点： 垂径定理的应用
4. （2017广东广州第6题）如图3，是的内切圆，则点是的（ ）
图3
A． 三条边的垂直平分线的交点 B．三角形平分线的交点
C. 三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【解析】
试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B。
考点： 内心的定义
5. （2017山东临沂第10题）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形
6. （2017山东青岛第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A、100° B、110° C、115° D、120°
【答案】B
【解析】
试题分析：如下图，连接AD，AD，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ABD=∠AED＝20°
，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，从而由三角形的内角和求得∠BAD＝70°，因此可求得∠BCD=110°.
故选：B
考点：圆的性质与计算
7. (2017四川泸州第6题)如图，是的直径，弦于点，若，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：已知AB=8，AE=1，可得OA=4，OE=3,连结OC，在Rt△OCE中，根据勾股定理可得CE= ，又因，根据垂径定理可得CD=2CE=2，故选B.
8. (2017山东滨州第5题)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A.
【解析】如图，由题意得，OA=2，△AOM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得OM= ，故选A.
9. (2017山东日照第9题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A.
试题分析：过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD= AO=2.5，
∴AD= = ，
∴AC=2AD=5，
故选A．
考点：切线的性质．
10. (2017辽宁沈阳第10题)正方形内接与，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，连接OB、OC，可得∠BOC=，所以△BOC为等边三角形，所以OB=BC=2，即的半径是2，故选B.
考点：正多边形和圆.
11. (2017江苏宿迁第6题)若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是
A． B． C. D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：这个圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，可得，解得r=6cm，故选D.
12. (2017山东日照第15题)如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是 ．
【答案】6π．
试题分析：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=6，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴S扇形BAE=6π，
考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．
13. （2017江苏苏州第9题）如图，在中，，．以为直径的交于点，是上一点，且，连接，过点作，交的延长线于点，则的度数为
A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：，，
故答案选C.
考点：圆心角与圆周角的关系.
14. (2017浙江金华第7题)如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：作OC⊥AB交点为D，交圆于点C，OB=13cm，CD=8cm，OD=5cm；在RT△BOD中，根据勾股定理可求得BD=12cm，再由垂径定理可得AB=2BD=24cm，故选C.
15. (2017湖南湘潭第7题)如图，在半径为4的中，是直径，是弦，且，垂足为点，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B． C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：已知，所以，即可得，故选D.
二、填空题
1.(2017北京第14题)如图，为的直径，为上的点，.若，则
．
【答案】25°.
考点：圆周角定理
2.（2017广东广州第15题）如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线 ．
【答案】
【解析】
试题分析：：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：＝
考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.
3. （2017湖南长沙第15题）如图，为⊙的直径，弦于点，已知，则⊙的半径为 ．
【答案】5
【解析】
试题分析：设圆的半径为r，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，然后勾股定理可知，解得r=5.
故答案为：5.
考点：1、垂径定理，2、勾股定理
4. （2017山东青岛第12题）如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。
【答案】2π-4
【解析】
试题分析：如下图
连接OB，OD，根据切线的性质，由直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，可知AB⊥OB，PC⊥OD，再结合AB⊥CD，可得到四边形BOPD是正方形，从而求得，然后可求阴影部分的面积为
考点:弓形面积
5.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．
【答案】32
【解析】
试题分析：如下图
由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.
故答案为：32.
考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质
6.（2017江苏苏州第16题）如图，是的直径，是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：
.
考点：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.
7. (2017山东菏泽第12题)一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径长为______.
【答案】.
【解析】
试题分析：根据扇形的面积公式可得 ，解得 .
8. （2017浙江湖州第14题）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若，则的度数是 度．
【答案】140
考点：圆周角定理
9. （2017浙江湖州第15题）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是 ．
【答案】512（或29）
【解析】
试题分析：根据切线的性质，和30°角所对直角边等于斜边的一半，可知OO1=2，然后同样可知O1O2=2=21，OO3=2×2=22，……OOn=2n-1，因此可得第10个为210-1=29=512.
故答案为：512.
考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形
10. (2017湖南湘潭第13题)如图，在中，已知，则 ．
【答案】60°
【解析】
试题分析：根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可得60°.
11. （2017浙江台州第13题）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为长为30厘米，则的长为 厘米．（结果保留）
【答案】20π
【解析】
试题分析：根据弧长公式可得：弧BC的长===20π.
故答案为：20π.
考点：弧长的计算
12. （2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形，它的两个相对的顶点分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点在正六边形内部（包括边界），则正方形边长的取值范围是 ．
【答案】（ ）
【解析】
试题分析：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.
①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，
∵正六边形的边长为1，
∴AC=,
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.
设A′（t,）时，正方形边长最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（-，t）
设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（-， -）（如下图）
∴.
∴.
∴直线MN的解析式为：y=（x+1）,
将B′（-， t）代入得：t=-.
此时正方形边长为A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案为：.
考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器—三角函数，4、解直角三角形
13. (2017浙江舟山第13题)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径的⊙，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
【答案】（32+48π）cm²
【解析】
试题分析：连接OA，OB，因为弧AB的度数是90°，所以圆心角∠AOB=90°，则S空白=S扇形AOB-S△AOB= （cm2）,S阴影=S圆-S空白=64π-（16π-32）=32+48π（cm2）.
考点：扇形面积的计算.
三、解答题
1. (2017北京第24题)如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
本题解析：（1）证明：∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线，∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中, ∠4=∠5，∴DE=DB.
(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=BE=3，在 RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴DF=∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中，sin∠AOE= ,
∵AE=6, ∴AO=.
考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数
2. (2017天津第21题)已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点，是上一点，延长交⊙于点.
（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，当时，求的大小.
【答案】(1) ∠T=40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO =15°.
【解析】
试题分析：(1)如图，连接AC,根据切线的性质定理可得∠TAB=90°，即可求得∠T的度数；根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，即可求得∠CDO的度数. （2）如图，连接AD,在△BCE中，求得∠BCE=∠BEC=65°,根据圆周角定理的推论可得∠BAD=∠BCD=65°，因OA=OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD=65°，即可得∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
试题解析：(1)如图，连接AC,
∵是⊙的直径，是⊙的切线，
∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.
∵，
∴∠T=90°-∠ABT=40°
由是⊙的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°
∴∠CDB=∠CAB=40°;
（2）如图，连接AD,
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°,
∴∠BAD=∠BCD=65°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65°
∵∠ADC=∠ABC=50°
∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
3. (2017福建第21题)如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．
（Ⅰ）若，求弧的长；
（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．
【答案】（Ⅰ）的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；
（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.
试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长= =π；
（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP= ∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.
4. (2017河南第18题)如图，在中， ，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件已知CB平分∠DCF，再证得、，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知=10，，可求得AD =6,在Rt△ABD中，根据勾股定理求得的值,在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求得BC 的长.
试题解析：
(1)∵
∴∠ABC=∠ACB
∵
∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB，即CB平分∠DCF
∵为⊙直径
∴∠ADB=90°，即
∵BF为⊙的切线
∴
∵
∴
∴BD=BF
考点：圆的综合题.
5. （2017广东广州第25题）如图14，是的直径，，连接．
（1）求证：；
（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．
①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）① ②
【解析】
试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②
试题解析：（1）证明：如图，连接BC.
是 的直径，
（2）①如图所示，作 于F
由（1）可得， 为等腰直角三角形.
是 的中点. 为等腰直角三角形.
又 是 的切线，
四边形 为矩形
②当 为钝角时，如图所示，同样，
（3）当D在C左侧时，由（2）知
,
,
在 中，
当D在C右侧时，过E作 于
由（2）得，
在 中，
考点：圆的相关知识的综合运用
6. （2017湖南长沙第23题）如图，与⊙相切于，分别交⊙于点，．
（1）求证：；
（2）已知，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）
试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB
∵
∴∠AOC=∠BOC
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC（ASA）
∴AO=BO
（2）由（1）可得AC=BC=AB=
∴在Rt△AOC中，OC=2
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴
∴
考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积
7. （2017山东临沂第23题）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求外接圆的半径.
【答案】
【解析】
试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
试题解析：（1）平分，平分，，又
，，,..
（2）解：连接，，是圆的直径.，.，，，是等腰直角三角形.，.的外接圆的半径为.
考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理
8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O与的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点，连接并延长交边于点.
（1）求证：//
（2）若求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得CD垂直于AO，再证得∠DAO=∠BDF，即可证得结论；（2）过点作与，根据勾股定理求得BC=8，再求得BD=4，由切割线定理可求得
再由勾股定理求得BC=4，利用射影定理求得OE= ，利用相似三角形的性质即可求得的长.
试题解析：
（1）证明：与⊙O相切与点
（弦切角定理）
又与⊙O相切与点
由切线长定理得：
即：DF//AO
（2） ：过点作与
由切割线定理得：,解得：
由射影定理得：
9. (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D
作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝DF·DA．
【答案】详见解析.
试题解析：
证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；
∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．
∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．
∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2＝DF·DA．
∴DE2＝DF·DA．
10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在中，以为直径的交于点，过点做于点，延长交的延长线于点，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径是3，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）.
试题解析：
(1)连接OE，
则,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵OE是的半径
∴是的切线；
（2）∵，∵
∴
∴BA=BC
又的半径为3，
∴OE=OB=OC
∴BA=BC=2×3=6
在Rt△OEG中，sin∠EGC=，即
∴OG=5
在Rt△FGB中，sin∠EGC=，即
∴BF=
∴AF=AB-BF=6-=.
考点：圆的综合题.
11. (2017江苏宿迁第22题)（本题满分6分）
如图，与相切于点，为的弦，，与相交于点；
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】(1)详见解析；（2）BP=.
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因为∠APB=∠CPO， 即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB；（2）过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP，由勾股定理求得OA的长，再由勾股定理求得CP的长，由∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，证得△ADP∽△COP，根据相似三角形的性质求得PD的长，即可得BP的长.
(2) 过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP
因为∠ABO=90°，，，所以,故OA=5
因为AP=AB=3，所以OP=OA-AP=2
因为∠COP=90°，所以,
因为∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，所以△ADP∽△COP.
所以,即PD= ，所以BP=.
12. （2017江苏苏州第27题）（本题满分10分）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点．
（1）求证：∽；
（2）求证：；
（3）连接，设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
试题分析：（1）利用两角对应相等，两三角形相似证明；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形求正弦值 .
试题解析：（1）是⊙的直径，.
～ .
（2）～ 和是 所对的圆周角，.
（3） ，即 ，，
，即 . ， ， ，即
考点：圆、三角函数、相似三角形的综合运用.
13. (2017山东菏泽第22题)如图，是⊙的直径，与⊙相切于点，连接交⊙于点.连接.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求的值.
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得；（2）先证△PB∽C△ABP，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用，得，从而求=
试题解析：
【解】
（1）∵是⊙的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∵与⊙相切于点
∴∠CBP+∠ABC=90°
∴
(2) ∵，∠P=∠P
∴△PB∽C△ABP
∴
∴
（3）∵
∴AP=9
∵
∴
∴=
14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点是延长线上的一点，交于点，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，．
①求的度数．
②若的半径为，求线段的长．
【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②2-2.
【解析】
试题分析：（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；（2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.
试题解析：（1）解：∵直线与⊙O相切，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,
∵OC=2,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2,
∴EF=GE-FG=2-2.
15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）
如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解；
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A的度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
试题解析：（1）在Rt△ABC中，AB===2
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）在Rt△ABC中，sinA=
∴∠A=30°
∵AB切⊙O于点D
∴OD⊥AB
∴∠AOD=90°-∠A=60°
∵
∴
∴OD=1
∴
考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积
16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形，点是斜边上一点（不与重合），是的外接圆⊙的直径.
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）若⊙的直径为2，求的值.
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形
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