专题02 代数式和因式分解
一、选择题
1．（2017四川省南充市）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．原式=，不符合题意；
B．原式=，不符合题意；
C．原式不能合并，不符合题意；
D．原式=，符合题意．
故选D．
考点：整式的混合运算．
2．（2017四川省广安市）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．，正确，符合题意；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项错误；
故选A．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．实数的性质；3．合并同类项；4．同底数幂的乘法．
3．（2017四川省广安市）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x=2
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵二次根式在实数范围内有意义，∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2．故选B．
考点：二次根式有意义的条件．
4．（2017四川省眉山市）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
考点：1．二次根式的加减法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．分式的乘除法；5．负整数指数幂．
5．（2017四川省眉山市）已知，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由，得： ，则m=﹣2，n=2，∴==﹣1．故选C．
考点：1．分式的化简求值；2．条件求值．
6．（2017四川省绵阳市）使代数式有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B．
考点：二次根式有意义的条件．
7．（2017四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，an=n（n+2）；
∴=
===，故选C．
考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．
8．（2017四川省达州市）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：A．2a与3b不是同类项，故A不正确；
B．原式=6，故B不正确；
C．，正确；
D．原式=，故D不正确；
故选C．
考点：1．整式的除法；2．算术平方根；3．合并同类项；4．幂的乘方与积的乘方．
9．（2017山东省枣庄市）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：==，A错误；
，B错误；
=2，C错误；
，D正确，故选D．
考点：1．立方根；2．有理数的减法；3．算术平方根；4．负整数指数幂．
10．（2017山东省枣庄市）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A．
考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．
11．（2017山东省济宁市）单项式与单项式是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D．
【解析】
试题分析：由题意，得m=2，n=3．m+n=2+3=5，故选D．
考点：同类项．
12．（2017山东省济宁市）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
【答案】C．
【解析】
试题分析：由题意可知：，解得：x=.故选C．
考点：二次根式有意义的条件．
13．（2017山东省济宁市）计算，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法；3．负整数指数幂．
14．（2017山西省）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：由翻折的性质得，∠DBC=∠DBC′，∵∠C=90°，∴∠DBC=∠DBC′=90°-35°=55°，∵矩形的对边AB∥DC，∴∠1=∠DBA=35°，∴∠2=∠DBC′-∠DBA=55°-35°=20°．故选A．
考点：1．平行线的性质；2．翻折变换（折叠问题）．
15．（2017广东省）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：A．a+2a=3a，此选项错误；
B．，此选项正确；
C．，此选项错误；
D．与不是同类项，不能合并，此选项错误；
故选B．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法．
16．（2017广西四市）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
考点：整式的混合运算．
17．（2017江苏省盐城市）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：
A．错误、7a+a=8a．
B．错误．．
C．正确．．
D．错误．
故选C．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法．
18．（2017江苏省连云港市）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：同底数幂的乘法．
19．（2017江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图，∵⊙O的半径=2，由题意得，OA1=4，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=2，OA6=0，OA7=4，…
∵2017÷6=336…1，∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合，∴OA2017=2R=4．故选A．
考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．
20．（2017河北省）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．图表型．
21．（2017河北省）若= +，则 中的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．任意实数
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵ = +，∴﹣===﹣2，故____中的数是﹣2．故选B．
考点：分式的加减法．
22．（2017浙江省丽水市）计算，正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：==，故选A．
考点：同底数幂的乘法．
23．（2017浙江省丽水市）化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
【答案】A．
考点：分式的加减法．
24．（2017浙江省台州市）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．原式=，不符合题意；
B．原式=，不符合题意；
C．原式=，不符合题意；
D．原式=，符合题意．
故选D．
考点：整式的混合运算．
25．（2017湖北省襄阳市）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．
26．（2017重庆市B卷）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：=．故选B．
考点：同底数幂的除法．
27．（2017重庆市B卷）若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵x=﹣3，y=1，∴2x﹣3y+1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，故选B．
考点：代数式求值．
28．（2017重庆市B卷）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．
考点：分式有意义的条件．
29．（2017重庆市B卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（ ）
A．116 B．144 C．145 D．150
【答案】B．
考点：规律型：图形的变化类．
二、填空题
30．（2017四川省南充市）计算：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：原式=﹣1+1=．故答案为：．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂．
31．（2017四川省广安市）分解因式：= ．
【答案】m（x+2）（x﹣2）．
【解析】
试题分析：==m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
32．（2017四川省眉山市）分解因式：= ．
【答案】2a（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
33．（2017四川省绵阳市）分解因式：= ．
【答案】2（2a+1）（2a﹣1）．
【解析】
试题分析：= =2（2a+1）（2a﹣1）．故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
34．（2017四川省达州市）因式分解：= ．
【答案】2a（a+2b）（a﹣2b）．
【解析】
试题分析：2a3﹣8ab2
=2a（a2﹣4b2）
=2a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
35．（2017山东省枣庄市）化简：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：==，故答案为：．
考点：分式的乘除法．
36．（2017山东省济宁市）分解因式：= ．
【答案】 ．
【解析】
试题分析：原式==，故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
37．（2017山西省）计算： ．
【答案】 ．
考点：二次根式的加减法．
38．（2017广东省）分解因式：= ．
【答案】a（a+1）．
【解析】
试题分析：=a（a+1）．故答案为：a（a+1）．
考点：因式分解﹣提公因式法．
39．（2017广东省）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．
【答案】﹣1．
【解析】
试题分析：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．
考点：1．代数式求值；2．整体思想．
40．（2017江苏省盐城市）分解因式的结果为 ．
【答案】a（ab﹣1）．
【解析】
试题分析：=a（ab﹣1），故答案为：a（ab﹣1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
41．（2017江苏省盐城市）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥3．
【解析】
试题分析：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．
考点：二次根式有意义的条件．
42．（2017江苏省连云港市）分式有意义的x的取值范围为 ．
【答案】x≠1．
考点：分式有意义的条件．
43．（2017江苏省连云港市）计算（a﹣2）（a+2）= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：（a﹣2）（a+2）=，故答案为：．
考点：平方差公式．
44．（2017浙江省丽水市）分解因式：= ．
【答案】m（m+2）．
【解析】
试题分析：原式=m（m+2）．故答案为：m（m+2）．
考点：因式分解﹣提公因式法．
45．（2017浙江省丽水市）已知，则代数式的值为 ．
【答案】2．
【解析】
试题分析：∵，∴原式==3﹣1=2．故答案为：2．
考点：1．代数式求值；2．条件求值；3．整体思想．
46．（2017浙江省台州市）因式分解：= ．
【答案】x（x+6）．
【解析】
试题分析：原式=x（6+x），故答案为：x（x+6）．
考点：因式分解﹣提公因式法．
47．（2017浙江省绍兴市）分解因式： ．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．
考点：1．提公因式法与公式法的综合运用；2．因式分解．
48．（2017重庆市B卷）计算： ．
【答案】4．
【解析】
试题分析：原式=3+1=4．故答案为：4．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂．
三、解答题
49．（2017四川省南充市）化简，再任取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当x=5时，原式=．
【解析】
试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式===
∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0，∴x≠±1，x≠0，当x=5时，原式==．
考点：分式的化简求值．
50．（2017四川省广安市）计算：．
【答案】 ．
考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
51．（2017四川省广安市）先化简，再求值：，其中a=2．
【答案】，3．
【解析】
试题分析：先化简分式，再代入求值．
试题解析：原式===
当a=2时，原式=3．
考点：分式的化简求值．
52．（2017四川省眉山市）先化简，再求值：，其中a=﹣2．
【答案】，5．
【解析】
试题分析：原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式==，当a=﹣2时，原式=4+1=5．
考点：整式的混合运算—化简求值．
53．（2017四川省绵阳市）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x=，y=．
【答案】（1）0.7；（2），．
考点：1．分式的化简求值；2．实数的运算；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
54．（2017四川省达州市）计算：．
【答案】5．
【解析】
试题分析：首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
试题解析：原式== =5．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
55．（2017四川省达州市）设A=．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…
解关于x的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1） ；（2）x≤4．
考点：1．分式的混合运算；2．在数轴上表示不等式的解集；3．解一元一次不等式；4．阅读型；5．新定义．
56．（2017山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．
考点：1．因式分解的应用；2．新定义；3．因式分解；4．阅读型．
57．（2017广东省）计算：．
【答案】9．
【解析】
试题分析：直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．
试题解析：原式=7﹣1+3=9．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．
58．（2017广东省）先化简，再求值：，其中x=．
【答案】2x，．
【解析】
试题分析：先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x的值代入求解可得．
试题解析：原式==2x
当x=时，原式=．
考点：分式的化简求值．
59．（2017广西四市）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
考点：分式的化简求值．
60．（2017江苏省盐城市）计算：．
【答案】3．
【解析】
试题分析：首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
试题解析：原式=2+2﹣1=3．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．
61．（2017江苏省盐城市）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式====
当时，原式===．
考点：分式的化简求值．
62．（2017江苏省连云港市）计算：．
【答案】0．
【解析】
试题分析：先去括号、开方、零指数幂，然后计算加减法．
试题解析：原式=1﹣2+1=0．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂．
63．（2017江苏省连云港市）化简： ．
【答案】．
考点：分式的乘除法．
64．（2017河北省）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由．
【答案】（1）3；（2）见解析；延伸 2，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）直接计算这个算式的值；（2）先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论．
试题解析：
（1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，∴结果是5的3倍．
（2）．
∵n为整数，∴这个和是5的倍数．
延伸 余数是2．
理由：设中间的整数为n，被3除余2．
考点：1．完全平方公式；2．整式的加减．
65．（2017浙江省丽水市）计算：．
【答案】1．
【解析】
试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
试题解析：原式=1﹣3+3=1．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．
66．（2017浙江省台州市）计算：．
【答案】1．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂．
67．（2017浙江省台州市）先化简，再求值：，其中x=2017．
【答案】，．
【解析】
试题分析：根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
试题解析：原式= ==
当x=2017时，原式===．
考点：分式的化简求值．
68．（2017浙江省绍兴市）（1） 计算：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）﹣3；（2）x≤．
考点：1．解一元一次不等式；2．实数的运算；3．零指数幂．
69．（2017湖北省襄阳市）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
试题分析：先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x、y的值代入求解可得．
试题解析：原式== =
当，时，原式= ==．
考点：分式的化简求值．
70．（2017重庆市B卷）计算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
考点：1．分式的混合运算；2．单项式乘多项式；3．完全平方公式．
71．（2017重庆市B卷）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=中，找出最大值即可．
试题解析：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．
∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5，∴或或，∴或或，∴k==或k==1或k==，∴k的最大值为．
考点：1．因式分解的应用；2．二元一次方程的应用；3．新定义；4．阅读型；5．最值问题；6．压轴题．
微信/支付宝扫码支付