南阳一中2015级高三第一次考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每题4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，，为实数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3.下列不等式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（ ）
A．②④ B．①② C．②③ D．①②④
4.若且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C.6 D．7
5.若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C4 D．5
6.对于实数，，若，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C.4 D．5
7.已知，且，则与的关系是（ ）
A． B． C. D．
8.若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）
A．5或8 B．-1或5 C.-1或-4 D．-4或8
9.已知，若，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C. 14 D．8
10.设，则的最小值为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．13
11.已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C. D．8
12.若实数，满足，则的范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13.设，时满足的正数，则的最大值是 .
14.已知关于的不等式无解，实数的取值范围 ．
15.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围为 ．
16.若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的值.
18. 设不等式的解集为，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
19. 已知函数，.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.
20. 已知，，为非零实数，且，.
（1）求证：；
（2）求实数的取值范围.
21.已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若，，均为正实数，且满足，求证：.
22.设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.
南阳一中2015级高三第一次考试数学试题参考答案
一、选择题
1-5:BDCDC 6-10:DADBB 11、12：CC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）当时，可化为，
由此可得或.故不等式的解集为或.
（2）由得，
此不等式化为不等式组或，
即或，
因为，所以不等式组的解集为，
由题设可得，故.
18.解：（1）证明：记，
由，解得，则.所以，
.
（2）由（1）得，.
因为，
，所以，
故.
19.解：（1）由得，∴.
∴，解集或，故不等式的解集为；
（2）∵函数的图象恒在函数图象的上方，∴恒成立，即,
∵，
∴，即的取值范围为.
20.解：（1）证明：由柯西不等式得，
，
即.
∴.
（2）由已知得，，
∴，即，
解得或.又，
，∴.即实数的取值范围是.
21.解：（1）当时，；
当时，；
当时，.
综上，的最小值.
（2）证明：，，均为正实数，且满足，
因为，
，
.
（当且仅当时，取等号），
所以，即.
22.解：（1）当时，等价于.
①当时，不等式化为，无解；
②当时，不等式化为，解得；
③当时，不等式化为，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为不等式的解集为空集，所以，因为，
，当且仅当时取等号.所以，
.因为对任意，不等式的解集为空集，所以，令，
所以.当且仅当，
，即时等号成立.
所以.所以的取值范围为.
微信/支付宝扫码支付