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兰州一中2018届高三8月份月考试卷
数学（理科）
一、选择题（本题共12个小题,每小题只有一个正确答案, 每小题5分,共60分）
1. 已知集合，，则( ).
A． B． C． D．
2. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，,则 ( )
A.190 B.95 C .170 D.85
4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第2天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里
5.设变量x、y满足约束条件，则的最大值为( )
A. 22 B. 20 C.18 D. 16
6我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者. 若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率是 （ ）
A. B． C． D．
7.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
3
2
4
A.16
B.20
C.24
D.32
8.在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是( )
A. B. C. D. 2
9．,函数f（x）=的零点所在的区间是( )
A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）
10.过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点,若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A . 2 B. C. D.
11.已知函数在定义域R内可导，若且＞0，记，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则t的取值范围为( )
A. （0，1） B. C. D. （0，）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．右图给出的是计算
的值的一个程序框图，判断其中框内应填入
的条件是 ；
14.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是 ；
15．在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：
；
16. 在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在中，角、、的对边分别为、、，.（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
18.(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、 “小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元 (不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．
(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
P
A
B
D
C
19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数为自然对数的底数）．
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；
(2)是否存在正常数，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点．
(1) 写出直线的参数方程;
(2) 求 的取值范围．
23．（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
已知a＋b＝1，对，b∈（0，＋∞），＋≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，
（1）求＋的最小值；
（2）求的取值范围。
兰州一中2018届高三8月月考理科数学参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
D
B
A
B
C
A
B
A
C
B
C
D
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. i>10 14. 45
15. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，得. .......................................3分
∴ ∵， ∴. ..........................................6分
（Ⅱ）由正弦定理,得. .........................................9分
∵, ,
∴. ∴. ............................................11分
∴. ...........................................12分
18.(本小题满分12分)
解：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为
记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.
则
答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分
(Ⅱ)可能取值有2, 2.5， 3, 3.5， 4
； ；
；
................................................................................................................9分
甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为
....................................................................................11分
所以 .....................................12分
19.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.
又平面，所以 ………………6分
P
A
B
D
C
M
N
（Ⅱ）解：依题意,知
平面平面，交线为，
过点作，垂足为，则平面.
在平面内过作，垂足为，连,
则⊥平面，所以为二面角
的一个平面角 . ………………9分
∵，,
∴, . ………………10分
又，故. 所以. ………………11分
∴.
即二面角的余弦值为. ………………12分
20.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由题意，可得 ， 即,
又，即所以，，，
所以，椭圆的方程为. ………4分
（Ⅱ）由 消去得. ……5分
设，，有，. ① ……6分
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以 . ...............…7分
由 ，,得 .……8分
将代入上式，
得 , ………………………10分
将 ① 代入上式，解得 ，或………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）................................................................1分
当时，恒成立，在上是增函数，只有一个单调递增区间，没有最值.....................................................................................2分
当时，
若则，在上是减函数，
若则，在上是增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值.
.........................................................6分
(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点…… 7分
由(Ⅰ)的结论可知 ………… 8分
此时，，
∴∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为
又，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为....................................................................................... 12分
22.解：（Ⅰ） 为参数................ 4分
（Ⅱ） 为参数）代入，得
，
…10分
23.解：（Ⅰ）∵且， ∴ ，
当且仅当，即，时，取最小值9．...........5分
（Ⅱ）因为对，使恒成立，
所以， ∴ 的取值范围为..............10分
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