高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
3.在中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）
A． 15 B．16 C. 17 D．18
5.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）
A． B． C. D．
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）
A． B． C. D．
7.若，则（ ）
A． B． C. D．
8. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（ ）
A． B．
C. D．
9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
10.已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为-6，则的值为（ ）
A． -1 B． 0 C. 1 D．2
11. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
12.直线与抛物线相交于两点，，给出下列4个命题：：的重心在定直线上；：的最大值为；：的重心在定直线上；：的最大值为.
其中的真命题为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在中，若，则 ．
14.若，则 ．
15.若的展开式中的系数为20，则 ．
16.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面积，且，，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在等差数列中，，公差，记数列的前项和为.
（1）求；
（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.
18. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小.
19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点
的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.
20. 如图，设椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，为右焦点，直线与的交点到轴的距离为，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.
（1）求的方程；
（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切.
21. 已知函数的图像在处的切线过点.
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.
（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；
（2）求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的图像在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBADC 6-10: DCCBA 11、12：BA
二、填空题
13. 14. 593 15. 16.
三、解答题
17.（1）∵，∴，∴，∴，
∴，
（2）若成等比数列，则，
即，∴
∵，
∴.
18. （1）证明：由已知四边形为矩形，得，
∵，，∴平面.
又，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，，则，，，，
所以，，则，即，
解得（舍去）.
设是平面的法向量，则，即，
可取.
设是平面的法向量，则即，
可取，所以，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
19. 解：（1）①经计算，可得下表：
②，，
，故模型乙的拟合效果更好.
（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），
每辆车一天收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.
20.（1）解：由题可知，，∴，，
设椭圆的方程为，
由，得，∴，，，
故的方程为.
（2）证明：由（1）可得：，设圆的圆心为，则，
圆的半径为，
直线的方程为.
设过与圆相切的直线方程为，
则，整理得：，
由，得，
又∵，
∴直线与圆相切.
21.（1）由，得，
的方程为，又过点，
∴，解得.
∵，
∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
（2）证明：∵，∴，
，∴
令，，，令得；令得.
∴在上递减，在上递增，
∴，∴，，解得：.
22. （1），，
∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.
（2）由，得，即，
故曲线的直角坐标方程为.
将代入并整理得：，解得
，
∵，∴由的几何意义得，，，
故.
23.（1）由，得，
∴或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
当时，，当且仅当，即时取等号，
∴，
当时，递减，
由，得，
又，结合的图像可得.
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