河南名校联盟2017—2018学年高三适应性考试(一)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合或,集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数,则( )
A. B.2 C. D.
3.如图所示为一个的国际象棋棋盘,其中每个格子的大小都一样,向棋盘内随机抛撒100枚豆子,则落在黑格内的豆子总数最接近( )
A.40 B.50 C.60 D.64
4.在等比数列中,,则( )
A.6 B. C. D.8
5.空间中有不重合的平面,,和直线,,,则下列四个命题中正确的有( )
:若且,则;
:若且,则;
:若且,则;
:若,且,则.
A., B., C., D.,
6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”,用于求两个正整数的最大公约数,将该方法用算法流程图表示如下,若输入,,则输出的结果为( )
A., B., C., D.,
7.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知某几何体的外接球的半径为,其三视图如图所示,图中均为正方形,则该几何体的体积为( )
A.16 B. C. D.8
9.变量,满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.在的展开式中,项的系数为( )
A.32 B. C. D.
11.过抛物线()的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于,两点向轴引垂线交轴于,,若梯形的面积为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若对于任意的,都有,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知非零向量,满足,,则 .
14.已知圆:,点,,记射线与轴正半轴所夹的锐角为,将点绕圆心逆时针旋转角度得到点,则点的坐标为 .
15.以双曲线的两焦点为直径作圆,且该圆在轴上方交双曲线于,两点;再以线段为直径作圆,且该圆恰好经过双曲线的两个顶点,则双曲线的离心率为 .
16.数列的前项和为,已知,,若数列为等差数列,则 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.锐角的内角,,的对边分别为,,,已知的外接圆半径为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若,求周长的最大值.
18.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,和均为等边三角形,且平面平面,点为中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.某建材公司在,两地各有一家工厂,它们生产的建材由公司直接运往地.由于土路交通运输不便,为了减少运费,该公司预备投资修建一条从地或地直达地的公路;若选择从某地修建公路,则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至以节约费用.已知,之间为土路,土路运费为每吨千米20元,公路的运费减半,,,三地距离如图所示.为了制定修路计划,公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量,得到下面的柱形图,以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率.
(1)求“,两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率;
(2)以修路后每天总的运费的期望为依据,判断从,哪一地修路更加划算.
20.椭圆()的上下左右四个顶点分别为,,,,轴正半轴上的某点满足,.
(1)求椭圆的标准方程以及点的坐标;
(2)过点作直线交椭圆于点,过点作直线交椭圆于点,,且,是否存在这样的直线,使得,,的面积相等?若存在,请求出直线的斜率;若不存在,请说明理由.
21.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为(),曲线与直线相交于,两点.
(1)当时,求;
(2)设中点为,当变化时,求点轨迹的参数方程.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)若在上的最大值为,求的值.
河南名校联盟2017-2018学年高三适应性考试(一)
理科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1-5:BCBDD 6-10:ABCDB 11、12:AC
二、填空题
13.2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)由正弦定理,得,
再结合,得,
解得,由为锐角三角形,得.
(2)由、及余弦定理,得,
即,
结合,得,
解得(当且仅当时取等号),
所以(当且仅当时取等号),
故当为正三角形时,周长的最大值为6.
18.解:(1)过点作交于点,连接;
取的中点,连接
∵是等边底边的中线,
∴.
∵,
∴四边形为矩形,
∴,.
∵为底边的中位线
∴,,
∴,,
四边形是平行四边形,
∴,
∵面,
∴面.
(2)以点为坐标原点,为轴正方向,为单位长度建立空间直角坐标系
如图所示,各个点的坐标为,,,
因此向量,,.
设面、面的法向量分别为,,
则,不妨令,解得,同理得
设平面与平面所成的锐二面角为,
则
19.解:(1)设“、两地公司总日产量为20吨”为事件,
则.
(2)同样可求、两地工厂某天的总日产量为19吨,21吨的概率分别为、.
若从地修路,从地到地每天的运费的期望为:(元).
从地到地每天的运费的期望为:
(元).
所以从地修路,每天的总运费的期望为:(元).
若从地修路,从地到地每天的运费的期望为:.
从地到地每天的运费的期望为:
(元).
所以从地修路,每天的总运费的期望为:(元).
所以从地修路更划算.
20.解:(1)设点的坐标为(),易知,,
,.
因此椭圆标准方程为,点坐标为.
(2)设直线的斜率为,,,,则:,:
、的面积相等,则点,到直线的距离相等.
所以,解之得或.
当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:
,所以
所以;
所以的面积为.
当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:
,解之得或(舍)
所以的面积为.
所以,满足题意,
②当时,直线的方程为:,代入椭圆方程并整理得:
,所以
所以;
又点到直线的距离为
所以的面积为.
当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:
,解之得或(舍)
所以的面积为.
所以,不满足题意.
综上知,存在这样的直线,,且直线的斜率为.
21.解:(1)1)当时,,在上单调递减;
2)当时,.
①当时,在定义域上,,,,单调递减;
②当时,的解为,(负值舍去),
在上大于0,在上单调递增,
在上小于0,在上单调递减;
综上所述,当时,在单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
(2)①当时,,满足题意;
②当时,,不满足题意;
③当时,,
由于且,
所以为两负数的乘积大于0,即,不满足题意;
④当时,由(1)可知
令,则将上式写为,令,解得,此时,
而当时,,,满足题意;
当时,,,不满足题意;
综上可得,当时,.
22.解:(1)将曲线化为直角坐标方程得,易知曲线是一个圆,且过原点.又直线经过原点,因此与圆的交点之一即为坐标原点,
所以.
(2)设点,,,则,,
由点在圆上,得,
化简,得,即.
化成参数方程为(为参数).
23.解:(1)当时,.
当时,;
当时,;
当时,.
由单调性知,的最小值为.
(2)令,得;令,得.
①当,即时,,,
最大值为,解得.
②当,即时,
其最大值在区间两个端点处取得.
若,解得,此时,舍去;
若,解得,舍去;
③当,即时,,,
最大值为,解得,舍去.
综上所述,.