河南名校2018届高三数学第一次段考试卷(理科含答案)
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资料简介
河南名校联盟2017—2018学年高三适应性考试(一)‎ 理科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合或,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数,则( )‎ A. B.‎2 C. D.‎ ‎3.如图所示为一个的国际象棋棋盘,其中每个格子的大小都一样,向棋盘内随机抛撒100枚豆子,则落在黑格内的豆子总数最接近( )‎ A.40 B.‎50 C.60 D.64‎ ‎4.在等比数列中,,则( )‎ A.6 B. C. D.8‎ ‎5.空间中有不重合的平面,,和直线,,,则下列四个命题中正确的有( )‎ ‎:若且,则;‎ ‎:若且,则;‎ ‎:若且,则;‎ ‎:若,且,则.‎ A., B., C., D.,‎ ‎6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”,用于求两个正整数的最大公约数,将该方法用算法流程图表示如下,若输入,,则输出的结果为( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎7.已知,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知某几何体的外接球的半径为,其三视图如图所示,图中均为正方形,则该几何体的体积为( )‎ A.16 B. C. D.8‎ ‎9.变量,满足,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在的展开式中,项的系数为( )‎ A.32 B. C. D.‎ ‎11.过抛物线()的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于,两点向轴引垂线交轴于,,若梯形的面积为,则( )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎12.若对于任意的,都有,则的最大值为( )‎ A. B. C.1 D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知非零向量,满足,,则 .‎ ‎14.已知圆:,点,,记射线与轴正半轴所夹的锐角为,将点绕圆心逆时针旋转角度得到点,则点的坐标为 .‎ ‎15.以双曲线的两焦点为直径作圆,且该圆在轴上方交双曲线于,两点;再以线段为直径作圆,且该圆恰好经过双曲线的两个顶点,则双曲线的离心率为 .‎ ‎16.数列的前项和为,已知,,若数列为等差数列,则 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.锐角的内角,,的对边分别为,,,已知的外接圆半径为,且满足.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求周长的最大值.‎ ‎18.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,和均为等边三角形,且平面平面,点为中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19.某建材公司在,两地各有一家工厂,它们生产的建材由公司直接运往地.由于土路交通运输不便,为了减少运费,该公司预备投资修建一条从地或地直达地的公路;若选择从某地修建公路,则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至以节约费用.已知,之间为土路,土路运费为每吨千米20元,公路的运费减半,,,三地距离如图所示.为了制定修路计划,公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量,得到下面的柱形图,以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率.‎ ‎(1)求“,两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率;‎ ‎(2)以修路后每天总的运费的期望为依据,判断从,哪一地修路更加划算.‎ ‎20.椭圆()的上下左右四个顶点分别为,,,,轴正半轴上的某点满足,.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程以及点的坐标;‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于点,过点作直线交椭圆于点,,且,是否存在这样的直线,使得,,的面积相等?若存在,请求出直线的斜率;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为(),曲线与直线相交于,两点.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)设中点为,当变化时,求点轨迹的参数方程.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求的最小值;‎ ‎(2)若在上的最大值为,求的值.‎ 河南名校联盟2017-2018学年高三适应性考试(一)‎ 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:BCBDD 6-10:ABCDB 11、12:AC 二、填空题 ‎13.2 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由正弦定理,得,‎ 再结合,得,‎ 解得,由为锐角三角形,得.‎ ‎(2)由、及余弦定理,得,‎ 即,‎ 结合,得,‎ 解得(当且仅当时取等号),‎ 所以(当且仅当时取等号),‎ 故当为正三角形时,周长的最大值为6.‎ ‎18.解:(1)过点作交于点,连接;‎ 取的中点,连接 ‎∵是等边底边的中线,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴四边形为矩形,‎ ‎∴,.‎ ‎∵为底边的中位线 ‎∴,,‎ ‎∴,,‎ 四边形是平行四边形,‎ ‎∴,‎ ‎∵面,‎ ‎∴面.‎ ‎(2)以点为坐标原点,为轴正方向,为单位长度建立空间直角坐标系 如图所示,各个点的坐标为,,,‎ 因此向量,,.‎ 设面、面的法向量分别为,,‎ 则,不妨令,解得,同理得 设平面与平面所成的锐二面角为,‎ 则 ‎19.解:(1)设“、两地公司总日产量为20吨”为事件,‎ 则.‎ ‎(2)同样可求、两地工厂某天的总日产量为19吨,21吨的概率分别为、.‎ 若从地修路,从地到地每天的运费的期望为:(元).‎ 从地到地每天的运费的期望为:‎ ‎(元).‎ 所以从地修路,每天的总运费的期望为:(元).‎ 若从地修路,从地到地每天的运费的期望为:.‎ 从地到地每天的运费的期望为:‎ ‎(元).‎ 所以从地修路,每天的总运费的期望为:(元).‎ 所以从地修路更划算.‎ ‎20.解:(1)设点的坐标为(),易知,,‎ ‎,.‎ 因此椭圆标准方程为,点坐标为.‎ ‎(2)设直线的斜率为,,,,则:,:‎ ‎、的面积相等,则点,到直线的距离相等.‎ 所以,解之得或.‎ 当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:‎ ‎,所以 所以;‎ 所以的面积为.‎ 当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:‎ ‎,解之得或(舍)‎ 所以的面积为.‎ 所以,满足题意,‎ ‎②当时,直线的方程为:,代入椭圆方程并整理得:‎ ‎,所以 所以;‎ 又点到直线的距离为 所以的面积为.‎ 当时,直线的方程可化为:,代入椭圆方程并整理得:‎ ‎,解之得或(舍)‎ 所以的面积为.‎ 所以,不满足题意.‎ 综上知,存在这样的直线,,且直线的斜率为.‎ ‎21.解:(1)1)当时,,在上单调递减;‎ ‎2)当时,.‎ ‎①当时,在定义域上,,,,单调递减;‎ ‎②当时,的解为,(负值舍去),‎ 在上大于0,在上单调递增,‎ 在上小于0,在上单调递减;‎ 综上所述,当时,在单调递减;‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减;‎ ‎(2)①当时,,满足题意;‎ ‎②当时,,不满足题意;‎ ‎③当时,,‎ 由于且,‎ 所以为两负数的乘积大于0,即,不满足题意;‎ ‎④当时,由(1)可知 令,则将上式写为,令,解得,此时,‎ 而当时,,,满足题意;‎ 当时,,,不满足题意;‎ 综上可得,当时,.‎ ‎22.解:(1)将曲线化为直角坐标方程得,易知曲线是一个圆,且过原点.又直线经过原点,因此与圆的交点之一即为坐标原点,‎ 所以.‎ ‎(2)设点,,,则,,‎ 由点在圆上,得,‎ 化简,得,即.‎ 化成参数方程为(为参数).‎ ‎23.解:(1)当时,.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 由单调性知,的最小值为.‎ ‎(2)令,得;令,得.‎ ‎①当,即时,,,‎ 最大值为,解得.‎ ‎②当,即时,‎ 其最大值在区间两个端点处取得.‎ 若,解得,此时,舍去;‎ 若,解得,舍去;‎ ‎③当,即时,,,‎ 最大值为,解得,舍去.‎ 综上所述,.‎

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