市一中高三第一次模拟考试
数学（文）试题
命题人：李柯
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B
C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
2.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（ ）
A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}
3.若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
4.在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（ ）
A．6051 B．4034 C．2017 D．1009
5.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4+2π B．8+2π C．4+π D．8+π
7.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，﹣12），则x的值为（ ）
A．27 B．81 C．243 D．729
8.已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
11.直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（ ）
A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，]
12.设F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知函数f（x）=，则f[f（0）]= ．
14.已知α∈（，π），且sin+cos=，则cosα的值 ．
15.已知实数x，y满足 ，则x+3y的最大值为 ．
16.已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为 ．
三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在锐角△ABC中， =
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
18.如右上图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；
（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明你的理由；
（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．
19.（08年山东卷文）（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求被选中的概率；
（Ⅱ）求和不全被选中的概率．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．
21.已知函数f（x）=lnx﹣x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1•x22＜2．
请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．
23. （本小题满分10分）
已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
市一中高三第一次模拟考试
数学（文）试题
试卷答案
1.C
【考点】命题的否定；特称命题．
【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选C．
2.C
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由A∩B=B，得B⊆A，然后利用子集的概念求得m的值．
【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A．
当m=0时，B={1，0}，满足B⊆A．
当m=2时，B={1，2}，满足B⊆A．
∴m=0或m=2．
∴实数m的值为0或2．
故选：C．
3.D
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据奇函数定义可得f（﹣x）﹣f（x），化简可求．
【解答】解：f（﹣x）=1++1，
因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即+1=﹣（1+），
2==m，即m=2，
故选D．
4.C
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．
【解答】解：在等差数列{an}中，
因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，
所以a1+a2017=a2+a2016=2，
所以S2017==2017，
故选C．
5.C
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积定义解答．
【解答】解：因为向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为，||cos=﹣×=﹣；
故选C．
6.D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
∴该几何体的体积V==8+．
故选：D．
7.B
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案
【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=﹣3，（3﹣3）；
第二次运行x=9，y=﹣6，（9，﹣6）；
第三次运行x=27，y=﹣9，（27，﹣9）；
第四次运行x=81，y=﹣12，（81，﹣12）；…；
所以程序运行中输出的一组数是（x，﹣12）时，x=81．
故选：B．
8. D
【考点】导数的运算；函数的图象．
【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．
【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，
故选：D．
9.B
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品4袋，获奖的概率．
【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，
获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，
相同的2张为，在4个位置中选2个位置，有种选法，
其余2个卡片有种选法，
∴获奖包含的基本事件个数m==36，
∴购买该食品4袋，获奖的概率为p==．
故选：B．
10.D
【考点】反证法．
【专题】反证法．
【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．
【解答】解：用反证法证明某命题时，
对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
故选：D．
【点评】本题考查了反证法，属于基础题．
11.B
【考点】直线的倾斜角．
【分析】本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣cosα．
又﹣1≤cosα≤1，
∴﹣≤tanθ≤．
∴θ∈[0，]∪[，π）．
故选B
12.A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．
【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，
∴4c2﹣4a2=2mn=4，
∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．
13.0
【考点】对数的运算性质．
【分析】由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f[f（0）]的值．
【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，
∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，
故答案为 0．
14.
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】采用“平方”将sin+cos=化简可得sinα的值，即可求解cosα的值．
【解答】解：∵sin+cos=，
∴（sin+cos）2=1+sinα=，即sinα=．
又∵α∈（，π），
∴cosα==．
故答案为
15.10
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=x+3y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得B（1，3），
代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
16.3
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．
【解答】解：由方差的计算公式可得：
S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]
= [x12+x22+…+xn2﹣2（x1+x2+…+xn）•+n2]
= [x12+x22+…+xn2﹣2n2+n2]
= [x12+x22+…+xn2]﹣2
=（x12++x32﹣12）
可得平均数=2．
对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，
故答案为：3．
17.
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．
（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，
，
∴sin2A=1且，
（2），
又，
∴b=2sinB，c=2sinC，
bc=2sin•2sinC=，
，
∴．
18.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D1P=λD1B1，把P的坐标用λ表示，然后分别求出的坐标，再由|cos＜＞|=cos60°列式求得λ值得答案；
（2）由图可得四棱锥Q﹣DBB1P的高为A1P，再求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥Q﹣DBB1P的体积．
【解答】解：（1）P是线段B1D1中点．
证明如下：
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，2），B1（1，1，2），
设D1P=λD1B1，则，∴P（λ，λ，2），
∴=（λ，λ，2），又=（0，1，﹣1），
∴|cos＜＞|=||=cos60．
∴||=，解得：；
（2）连接A1P，则A1P⊥平面DBB1D1，
∵A1Q∥平面DBB1D1，∴四棱锥Q﹣DBB1P的高为．
=．
∴=．
19.【解析】（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，
因而．
（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
20.
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；
（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①
由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②
解得：a2=9，b2=5，
∴a=3，b=，
（2）方法一：由（1）可知： =，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，
设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），
，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，
∴y2=，由y2＞0，则y2=，
由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，
则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，
由y=0，或y1=，
由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），
则y2=2y1，
则=2×，（m＞0），
解得：m=，
则直线AB的斜率=；
方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），
B（x1，y1），C（x2，y2），
由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），则y2=2y1，
由B，C在椭圆上，
∴，解得：，
则直线直线AB的斜率k==．
直线AB的斜率．
21
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）证明x2＞2，构造g（x）=lnx﹣x﹣m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞） …
令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）… …
（2）由（1）可设f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，满足lnx﹣x﹣m=0
且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0 …
由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2 …
又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）递减
故x2＞2 …
令g（x）=lnx﹣x﹣m
g（x1）﹣g（）=﹣x2++3lnx2﹣ln2 …
令h（t）=+3lnt﹣ln2（t＞2），
则h′（t）=﹣．
当t＞2时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣＜0．…
所以当x2＞2 时，g（x1）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（） …
因为g（x）在（0，1）上单调递增，
所以x1＜，故x1•x22＜2． …
综上所述：x1•x22＜2 …
22.
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），
普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），
极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），
普通方程2x+y﹣6=0；
（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；
θ=﹣代入曲线C2的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），
∴|PQ|=6﹣=5．
23.
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．
【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化为或或
解得或或…
∴或或，
∴原不等式的解集为．…
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，
∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…
即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，
∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，
即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，
∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…
∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，
所以实数a的取值范围是． …
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