市一中高三第一次模拟考试
数学（理）试题
命题人：孙丽荣
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（ ）
A． B．1 C． D．
2.若M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（ ）
A．{x|﹣2≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{﹣2，0} D．{x|1＜x≤2}
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4+2π B．8+2π C．4+π D．8+π
4.下列命题中：
①“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定；
②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；
③命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题；
其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.设f（x）=，则f（f（2））的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6.执行右上如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，﹣12），则x的值为（ ）
A．27 B．81 C．243 D．729
7.已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣，1） C．（，1） D．（，0）
8.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
9.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）
10.四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ）
A．10种 B．14种 C．20种 D．24种
11.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△
PF1F2的面积为36，则双曲线的方程为（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知幂函数y=xa的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为 ．
14.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= ．
15.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围为 ．
16.定积分(+x)dx的值为 ．
三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
在锐角△ABC中， =
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
18. （本小题满分12分）
如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
19.（本小题满分12分）
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分
（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
20. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．
21. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）ex．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若方程a（+1）+ex=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．
请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．
23. （本小题满分10分）
已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
市一中高三第一次模拟考试
数学（理）试题
试卷答案
1.A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．
【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．
则|z|==．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.D
【考点】交集及其运算．
【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由N中y=log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，
解得：x＞1，即N={x|x＞1}，
∵M={x|﹣2≤x≤2}，
∴M∩N={x|1＜x≤2}，
故选：D．
3.D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
∴该几何体的体积V==8+．
故选：D．
4.C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
②根据否命题的定义进行判断，
③根据逆否命题的等价性进行判断．
【解答】解：①“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0；∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，x2﹣x+1＞0恒成立，故①正确，
②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题是“若x2+x﹣6＜0，则x≤2”；由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，则x≤2成立，故②正确，
③命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题为假命题．
由x2﹣5x+6=0，则x=2或3，则原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，故③错误，
故正确的命题是①②，
故选：C
5.C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．
【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．
6.B
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案
【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=﹣3，（3﹣3）；
第二次运行x=9，y=﹣6，（9，﹣6）；
第三次运行x=27，y=﹣9，（27，﹣9）；
第四次运行x=81，y=﹣12，（81，﹣12）；…；
所以程序运行中输出的一组数是（x，﹣12）时，x=81．
故选：B．
7.A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．
【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，
∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，
∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，
∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），
故选：A．
8.C
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积定义解答．
【解答】解：因为向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为，||cos=﹣×=﹣；
故选C．
9.B
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=﹣kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．
由z=kx+y得y=﹣kx+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y﹣kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），
即直线y=﹣kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，
由图象可知当阴影部分必须在直线y=﹣kx+z的右上方，
此时只要满足直线y=﹣kx+z的斜率﹣k大于直线OA的斜率即可
直线OA的斜率为1，
∴﹣k＞1，所以k＜﹣1．
故选：B
10.B
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：
①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；
②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；
③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；
则一共有4+6+4=14种分配方案；
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．
11.A
【考点】几何概型．
【分析】由题意，求出两个变量对应的区域面积，利用面积比求概率．
【解答】解：在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，对应的区间为边长为1 的正方形，面积为1，在此条件下满足y＞2x的区域面积为，所以所求概率为；
故选A．
12.A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用△PF1F2的面积为36，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，F2（6，0），
设P（m，n），则
∵△PF1F2的面积为36，
∴=36，∴|n|=6，
∴m=9，
取P（9，6），则2a=﹣=6，
∴a=3，b=3，
∴双曲线的方程为﹣=1，
故选A．
13.112
【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．
【解答】解：幂函数y=xa的图象过点（3，9），
∴3a=9，
∴a=2，
∴=（﹣）8的通项为Tr+1=（﹣1）rC8r28﹣rx，
令r﹣8=1，
解得r=6，
展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，
故答案为：112．
【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．
14.n2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差d≠0，
且a1，a3，a13成等比数列，a2+a3=8，
∴，
解得a1=1，d=2，
∴数列{an}的前n项和Sn=．
故答案为：n2．
15.（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．
【解答】解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，
∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．
∴a＜2．
若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．
则，解得x0=e．
此时a=2﹣．
综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．
故答案为：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．
16.
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的几何意义计算dx，利用微积分基本定理计算xdx，然后相加即可．
【解答】解：根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的，
∴dx=，
又xdx=|=，
∴（+x）dx=dx+xdx=．
故答案为：．
17.
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．
（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，
，
∴sin2A=1且，
（2），
又，
∴b=2sinB，c=2sinC，
bc=2sin•2sinC=，
，
∴．
18.
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
取AC中点O，连接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=PC=2，∴P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，0，0），，
，
设平面PBC的一个法向量为，
由，取y=﹣1，得，
又是平面PAC的一个法向量，
∴cos＜＞=．
∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．
19.【解析】(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
所以ε的分布列为
ε
0
1
2
3
P
ε的数学期望为
Eε=
解法二：根据题设可知
因此ε的分布列为
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又
由互斥事件的概率公式得
解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事件
P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
=
20.
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；
（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①
由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②
解得：a2=9，b2=5，
∴a=3，b=，
（2）方法一：由（1）可知： =，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，
设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），
，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，
∴y2=，由y2＞0，则y2=，
由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，
则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，
由y=0，或y1=，
由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），
则y2=2y1，
则=2×，（m＞0），
解得：m=，
则直线AB的斜率=；
方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），
B（x1，y1），C（x2，y2），
由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），则y2=2y1，
由B，C在椭圆上，
∴，解得：，
则直线直线AB的斜率k==．
直线AB的斜率．
21.
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．
【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，
故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）方程a（+1）+ex=ex可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，
令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，
g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=ex﹣2a，
①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，
h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，
故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，
而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；
②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，
h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；
③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），
∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，
h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），
故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，
故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，
又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；
④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，
若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，
则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，
故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，
而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，
若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，
综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=ex在（0，1）内有解．
22.
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），
普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），
极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），
普通方程2x+y﹣6=0；
（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；
θ=﹣代入曲线C2的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），
∴|PQ|=6﹣=5．
23
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．
【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化为或或
解得或或…
∴或或，
∴原不等式的解集为．…
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，
∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…
即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，
∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，
即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，
∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…
∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，
所以实数a的取值范围是． …
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