安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟2018届高三摸底考试数学（理）试题Word版含答案.doc

联盟2018届高三摸底考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数（ ）‎ A． -1 B．0 C．1 D．2‎ ‎3.已知向量，若向量与平行，则实数=（ ）‎ A．-4 B．‎4 C． D． ‎ ‎4.函数的图象大致是（ ）‎ A． B．C. D．‎ ‎5.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦荟的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 已知函数，其中且，若，则（ ）‎ A． 5 B． C. D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A．4 B． 5 C. 6 D．7‎ ‎8.若实数满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10. 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线上异于点的两点满足，直线与交于点，和的面积满足，则点的横坐标为（ ）‎ A．-4 B． -2 C. 2 D．4‎ ‎12.已知函数，若存在正数，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎14.已知，则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ ‎15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为 ．‎ ‎16.若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有 个．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，在中，，点在边上，且.‎ ‎（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.‎ ‎19. 2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本.对这60名学生的成绩进行统计，并按，，分组，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；‎ ‎（Ⅲ）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取3名，记其中成绩优秀的人数为，求的分布列与期望.‎ ‎20. 已知在四棱锥中，底面是菱形，，平面，分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎21. 椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程和圆的半径.‎ ‎22. 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 96‎ 由题意知， 的系数为 ‎ ‎14. ‎ 由题意知，双曲线的方程可变形为，∵，∴离心率 .‎ ‎ 15. ‎ 由题意知，该三棱锥的直观图如图中的所示，则，，，，故其四个面中最大的面积为.‎ ‎ 16.4‎ 设，由题意知，，，.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差,∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴.‎ ‎18.（Ⅰ）在中，∵.∴.‎ 在中，由正弦定理得，即，解得.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，解得，∴，在中，，在中，.‎ ‎19. （Ⅰ）设样本数据的平均数为，则.则估计参赛学生的平均成绩为72.5分.‎ ‎（Ⅱ）设样本数据的中位数为，由知.则，解得，故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.‎ ‎（Ⅲ）由题意知，样本中80分以上（包括80分）的概率为，则随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为，∴.∴，‎ ‎；；，故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎20.（Ⅰ）取中点，连接.∵为的中点，是菱形，∴，且，又为的中点，为的中点，∴，且，∴，且，则四边形是平行四边形，∴.又平面，面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点为，∵是菱形，，∴，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，∴平面 的一个法向量为，又平面的一个法向量为.∴.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎21.（Ⅰ）由题意知，，即，∴，∵由椭圆截直线所得的弦长为，∴弦在第一象限的端点的坐标为，∴，将代入上式，解得.∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，∵，∴，∴，设直线的方程为，联立，得，∴；联立，得，∵，∴，且；∴，解得，∴，∴.‎ ‎22.（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为，，∴，解得.‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，∴.‎ 当时，恒成立，则函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时，恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，∵，∴，解得，即实数的取值范围为.‎