高三第一阶段测试 数学(理)试题
命题人:孙丹丹 审题人:关中标
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}
2.若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
3.有下列命题：
①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；
③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
④命题P：“”的否定￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”
则上述命题中为真命题的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④
4.已知角α终边上一点P（﹣4，3），则sin（+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x|
6.函数f（x）=（）cosx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知，且，则sin2α的值为（ ）
A． B． C． D．
8.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．6
9.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（ ）
A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）
11.已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1≤a＜2
12.设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+
xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（ ）A．（2020，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2014，+∞）
第Ⅱ卷（共90分）
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.计算：（）+（log316）•（log2）= ．
14.若，则__________．
15.已知，则的值为 ；
16.函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是 ．
三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
设命题：函数在区间[－1,1]上单调递减；命题：使等式成立，如果命题或为真命题，且为假命题，求的取值范围.
18. （本题满分12分）
设，且．
（Ⅰ）求的值及的定义域；
（Ⅱ）求在区间上的值域．
19. （本题满分12分）
已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．
（Ⅰ）求函数 f （ x） 图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x） 的图象，求 y=g （ x） 在[，2π]上的值域．
20. （本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
21. （本题满分12分）
设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（Ⅰ）当a=0时，讨论函数f（x）在[，+∞）上的零点个数；
（Ⅱ）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．
22. （本题满分12分）
设函数f（x）=ex（ax2+x+1）．
（Ⅰ）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处有极值，请证明：对任意θ∈[0，]时，
都有|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2．
高三第一阶段测试 数学(理)
试卷答案
1.C2.B3.C4.A5.D
【解答】解：y=lnx不是偶函数，排除A；
y=cosx是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；
y=x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；
故选D．
6.C【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，
＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．
排除D．
故选：C．
7.C【解答】解：∵，且，
∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），
∴cosα﹣sinα=，或 cosα+sinα=0．
当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；
∵α∈（0，），
∴cosα+sinα=0不成立，
故选：C．
8.C【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
9.D
10.D【解答】解：由图象知A=1， T=﹣=，T=π⇒ω=2，
由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=
⇒φ=
⇒f（x）=sin（2x+），
则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），
故选D．
11.B【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|=a无解，不符合题意；
（2）若a=0，则|f（x）|=0的解为x=1，不符合题意；
（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈数图象如图所示：
∵|f（x）|=a有三个解，∴a＞2，
故选B．
12.A【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），
所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0，
所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数，
因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1，
所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3），
所以x﹣2017＞3，解得x＞2020．
则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）．
故选：A．
13.﹣5 14.3
，所以.
15.
试题解析：因为，
=
故答案为：
16.y=x
17
18.(1) ；(2) .
试题分析：(1)由可求出，由对数的真数为正数，即可求函数的定义域；
(2)由及复合函数的单调性可知，当时，是增函数；当时，是减函数，由单调性可求值域.
考点：1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性.
19.【解答】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x
=cos2x+sin2x
=2sin（2x+），
∴令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程：x=+，k∈Z，
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+），
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 解析式为：y=g （ x）=2sin（+），
∵x∈[，2π]，
∴+∈[，]，可得：sin（+）∈[﹣，1]，
∴g （ x）=2sin（+）∈[﹣1，2]．
20.【解答】解：（Ⅰ）∵，
所以（2c﹣b）•cosA=a•cosB
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴，．
（Ⅱ）由余弦定理，．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积．
∴三角形面积的最大值为．
22.【解答】解：（1）f'（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=，
当时，，f（x）在R上单调递增；
当时，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或；f'（x）＜0，解得，
故函数f（x）在和（﹣2，+∞）上单调递增，在上单调递减．
当时，f'（x）＞0，解得或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和上单调递增，在上单调递减．
所以当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；
当时，f（x）的单调递增区间是和（﹣2，+∞），单调递减区间是；
当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和，单调递减区间是．
（2）证明：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，
∴f（x）=ex（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣ex（x﹣1）（x+2），
由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上单调递增．
∵，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．
21.
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx+b，
∴f′（x）=1+lnx≥0在[，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[，+∞）单调递增，
∴f（x）min=f（）=﹣+b，
当﹣+b≤0时，即b≤时，函数有唯一的零点，
当﹣+b＞0时，即b＞，函数没有零点，
（2）∵f′（x）=lnx+，x∈（1，e）
令g（x）=lnx+，
∴g′（x）=+＞0恒成立，
∴g（x）在（1，e）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣，
∵函数f（x）在（1，e）上有极小值，
∴，
解得1＜a＜2e，
故a的取值范围为（1，2e）
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