高邮市2017-2018学年第一学期高三数学期初调研测试
文 科 试 卷
总分：160分 时间：120分钟
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．抛物线的焦点坐标是 ▲ ．
2．已知函数，则函数的最小值是 ▲ ．
3．已知向量，则的充要条件是 ▲ ．
4．已知实数对满足，则的最小值是 ▲ ．
5．双曲线的顶点到其渐近线的距离为 ▲ ．
6．已知不等式的解集为，则 ▲ ．
7．已知椭圆上一点到其右焦点的距离为5，则点到其左准线的距离为 ▲ ．
8．已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 ▲ ．
9．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 ▲ ．
10．在中，点满足,,若,则 ▲ ．
11．已知椭圆：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积是16，则椭圆的方程为 ▲ ．
12．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则离心率e的取值范围为 ▲ ．
13．在矩形中，边长,若分别是边上的点，且,则的取值范围是 ▲ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题共14分）
已知三点P、、。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程。
16．（本题共14分）
在平面直角坐标系中，点、、。
（1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 在平面内一点满足，若为直角三角形，且为直角，试求实数的值。
17．（本题共14分）
某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往，甲车队说：“如果领队买一张全票，其
余人可享受7折优惠。”乙车队说：“你们属于团体票，按原价的7.5折优惠。”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠。
18．（本题共16分）
已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，
（1）求点的轨迹的方程。
（2）在平面内有点，点，过点作直线交于轨迹于另一点，若，求点的坐标。
19．（本题共16分
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.
20．（本题共16分）
如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求ABP的面积取最大时直线l的方程．
高邮市2017-2018学年第一学期高三期初数学文科（答案）
一、填空题
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．1或4 10． 11. 12．
13． 14．
二、解答题
15. 解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设所求椭圆的标准方程为（）
由椭圆的定义知，
，—5分
∴，又∵，∴， — —————6分
∴椭圆的标准方程为． —— —————————————7分
（2）∵双曲线焦点在轴上，故设所求双曲线的标准方程为-，由双曲线的定义知，
，
∴， ————————————————————————12分
，
故所求双曲线的标准方程为-。 ————————————14分
16．【解】（1）由题设知， ———————————2分
————————————4分
所以 ——————————6分
故所求的两条对角线的长分别为、。 —————————7分
（2）由题设知： ,且
则 ————————————————10分
由为直角三角形， 当,则 —————12分
即，得 ——————————————13分
所以，满足题意的实数 ————— ——————————14分
17．【解】：设该单位职工有人，全票价为元，
坐甲车需花费元，坐甲车需花费元， ————————————————2分
则， ——————————————4分
—————————————————————6分
所以 —————10分
当时，；当时；当时，。—————13分
答：当单位去的人数为6人时，两车队收费相同；多于6人时，甲车队更优惠；少于6人时，乙车队更优惠。 ——————————————————14分
18．【解】：（1）设点到直线的距离为，则由题意可得：，
则 ， 整理得： ————————8分
（本问应该用直接法求解，先设椭圆方程再求不给分）
（2）因为在椭圆上，且可知点为椭圆的左右焦点，由椭圆第一定义可得，又，
可解得 ————————————10分
设，由，且点在椭圆上，
得 ———————————————12分
解得：或（舍），———————————————15分
此时，故或 ———————————16分
19．【解】：(1)因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，
故椭圆的方程为＋＝1. ———————————————4分
(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，联立方程得，
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， ——————————6分
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题知k1＋k2＝＋＝8，
所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8. ————8分
所以k－＝4，整理得m＝k－2. ————————————9分
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2。 —————11分
所以直线AB过定点. ———————————13分
②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，
B(x0，－y0)，则由题知＋＝8，
得x0＝－.此时直线AB的方程为x＝－，
显然直线AB过点. ————————————15分
综上可知，直线AB过定点. ————————————16分
20．【解】：(1)由题： ①；
左焦点到点的距离为： ②．
由①②可解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．— ——————————————4分
(2)易得直线OP的方程：，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．
其中y0＝x0．∵A，B在椭圆上，
∴．———6分
设直线AB的方程为(m≠0)，代入椭圆：，
整理得：． ————————————7分
显然．———————————8分
∴﹣且m≠0．由上又有：，．
∴AB＝||＝＝． ———————————————————10分∵点到直线l的距离表示为：．
∴SABP＝＝，———12分
令，
则，
﹣且m≠0，，令则，
解得，（），
当时，递增，
当时，递减，
所以，当且仅当时，ABP的面积取最大， ———————————15分
此时，直线l的方程为． —————————16分
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