安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学理试题Word版含答案.doc

安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期 第一次联考数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间内的频率为（ ）‎ ‎ A．0.2 B．‎0.4 C．0.5 D．0.6‎ ‎4.已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 C. D．‎ ‎5.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A．1 B． C.3 D．7‎ ‎6.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.的展开式中，的系数为（ ）‎ A．154 B．‎42 C. D．126‎ ‎8.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.关于函数，下列叙述有误的是（ ）‎ A．其图象关于对称直线对称 ‎ B．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到 C. 其值域是 ‎ D．其图象关于点对称 ‎10.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）‎ A．5400种 B．3000种 C.150种 D．1500种 ‎11.如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，则函数 (为自然对数的底数）的零点个数是（ ）‎ A．3 B．‎4 C.6 D．8‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题，都有，则为 ．‎ ‎14.如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为 ．‎ ‎ 15.已知三棱锥，为边三角形，为直角三角形，，平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为 ．‎ ‎16.已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.的内角的对边分别为.‎ ‎（1）若，求面积的最大值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.已知正项数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列，求数列前项和的值.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角大小的余弦值.‎ ‎20.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.‎ ‎（1）求该校报考飞行员的总人数；‎ ‎（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过‎60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎21.已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）研究函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BACAA 6-10: DBCDD 11、12：BC 二、填空题 ‎13.，使得 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1)由余弦定理得，即，所以，‎ 因为，所以，即(当且仅当时，等号成立），‎ 所以，故面积的最大值为.‎ ‎(2)由正弦定理得，，所以，‎ 所以,又因为，所以，所以，故为锐角，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎18.解：（1)当时，即,解得,‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②：，所以，即，‎ 因为是正项数列，所以，即，其中，‎ 所以是以为首相，1为公差的等差数列，所以.‎ ‎(2)因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎19. 解：（1)如图取的中点，连接，依题，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以.因为是中点，‎ 所以，故，‎ 所以为等边三角形，所以，‎ 因为，所以 所以平行四边形为菱形，‎ 所以，所以，即，又已知，所以平面，‎ 平面，所以平面平面.‎ ‎(2)由（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，‎ 所以.设平面的法向量，则 ‎，令，则，所以.‎ 同理可得平面的法向量，所以，‎ 所以二面角大小的余弦值为.‎ ‎20.解：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：‎ 解得，‎ 又因为，所以.‎ ‎(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，‎ 由题意知服从二项分布，‎ ‎，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎.‎ ‎21.解：（1)依题，‎ 所以 (为定值)，‎ 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，‎ 所以点轨迹的方程是 ‎(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；‎ ‎②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，‎ 设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，‎ 直线与间的距离为，‎ 同理直线与间的距离为，‎ 所以 ‎，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，‎ 所以 ‎ ‎，‎ ‎(当且仅当时，不等式取等号），‎ 所以，即，‎ 由①②可知，.‎ ‎22. 解：（1)易知函数的定义域为，‎ ‎，设，则，‎ 当时，，当时，，所以，‎ 故，所以在上单调递增 ‎ ‎(2)依题在上恒成立，‎ 设，则在上恒成立，‎ ‎，‎ 欲使在上恒成立，则，得，‎ 反之，当时，，‎ 设，则 设，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，所以在上单调递增，所以，‎ 故，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上恒成立，‎ 综上所述，在上恒成立，‎ 所以的取值范围是.‎