涟源一中2018届高三第二次月数学试卷（文科）
本试题卷分共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
命题人：胡日清 审稿人：唐凌云
★祝考试顺利★
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩B=（ ）
A．（3，6 ] B．（1，3] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3）
2. 函数 在以下哪个区间内一定有零点 ( )
A. B. C. D.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.已知实数，那么它们的大小关系是
A. B.
C. D.
5. 已知下列命题：①命题“”的否定是“”
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题
③“”是“”的充分不必要条件
④“若，则且”的逆否命题为真命题
其中真命题的个数为（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
6.下列四个图中，可能是函数的图象是是
7. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数为定义在[2，]上的偶函数，且在[0，]上单调递增，则的解集
A．[1, 2] B．[3, 5] C ．[-1, 1] D．[,]
9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
10. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2ex＜0的解集为（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
12. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 若是直角三角形的三边（为斜边），则圆被直线所截得的弦长等于__________．
14. 已知，且，则等于__________．
15. 如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为__________．
16.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（Ⅰ）若，求的大小；
（Ⅱ）若，的面积且，求，.
18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
附：K2=．
19.如图，四棱锥中，， ，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
20．已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的外接圆为⊙O1（O1为圆心），当P在M上运
动时，求点O1到x轴的距离的最小值．
21.已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，求实数m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23.选修4-5：不等式选讲
已知，其中.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为，求的值.
数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩B=（ ）
A．（3，6] B．（1，3] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3）
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤6}=[﹣1，6]，
B={x|y=ln（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}=（﹣∞，3）；
∴A∩B=[﹣1，3）．
故选：D．
2. 函数 在以下哪个区间内一定有零点 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵f（x）=x3+3x-1
∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A．
f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除B．
故选B．
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意有，解得.选C.
4.已知实数，那么它们的大小关系是
A. B. C. D.
【解析】
试题分析：因为，
,所以；故选A．
5. 已知下列命题：
①命题“”的否定是“”
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题
③“”是“”的充分不必要条件
④“若，则且”的逆否命题为真命题
其中真命题的个数为（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】C
【解析】①命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1⩽3x”，故①是假命题；
②由于“p∨q”的否定是“￢p∧￢q”，故②是真命题。
③由于a>5成立，则a>2一定成立，而a>2成立，a>5不一定成立，故③是假命题；
④由于命题“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故④是假命题；
本题选择C选项.
6.下列四个图中，可能是函数的图象是是
【答案】C
【解析】
试题分析：显然，当时，,即，故排除选项A、B，当时，,即，故排除选项D；故选C．
7. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．已知函数为定义在[2，]上的偶函数，且在[0，]上单调递增，则的解集
A．[1, 2] B．[3, 5] C ．[-1, 1] D．[,]
【解答】解：由得，，则在[0, 2]上递增，在[-2, 0]上递减，所以 故选：C．
9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），
∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），
∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1，
故选：D．
10. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】试题分析：由于函数是偶函数，当时，，进而可得当时，从而曲线在点处切线的斜率为，故选B.
11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2ex＜0的解集为（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为
g′（x）=，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上单调递减；
又∵f（0）=2，∴g（0）==2，
则不等式f（x）﹣2ex＜0化为＜2，
它等价于g（x）＜2，
即g（x）＜g（0），
∴x＞0，
即所求不等式的解集为（0，+∞）．
故选：B．
12. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出函数和的图象（如图所示），若关于的方程有四个不同的解且，则且，即，且，则在区间上单调递增，则，即的取值范围为；故选D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 若是直角三角形的三边（为斜边），则圆被直线所
截得的弦长等于__________．
【答案】2
再根据半径，可得弦长为.
14. 已知，且，则等于__________．
【答案】
【解析】由题意可得，
15. 如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】由题意得 ，所以
16.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是
【解析】
试题分析：因为，所以，设，所以
，当在上恒成立，即函数在上为增函数，因为，所以在上有且只有一个零点，使得，且在上，，在上，，所以为函数在上唯一的极小值点；时，成立，函数在上为增函数，此时，所以在上恒成立，即，函数在
上为单调增函数，函数在上无极值；当时，，因为，所以在上恒成立，即，函数在上为单调增函数，函数在上无极值，综上所述，
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（Ⅰ）若，求的大小；
（Ⅱ）若，的面积且，求，.
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵的面积，∴，∴①
∵，∴由余弦定理可得，
∴②
∵，∴联立①②可得，.
18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学
生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
附：K2=．
【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…（4分）
故所求的概率为P==…（6分）
（2）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生
非数学尖子生
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
（9分）
所以得K2==≈1.79；…（11分）
因为1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）
19.如图，四棱锥中，， ，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
（2）求四棱锥的体积.
20．已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的外接圆为⊙O1（O1为圆心），当P在M上运动时，求点O1到x轴的距离的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，动点A满足椭圆的定义，（1分）
设椭圆的方程（a＞b＞0，且y≠0），
所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）
且a2=b2+c2解得（3分）
所以，动点A的轨迹C满足的方程为（4分）
没有写出约束条件的扣（1分）
（Ⅱ）设P（x0，y0），不妨设
线段PB的垂直平分线方程为（6分）
线段BC的垂直平分线方程为x=0，两条垂线方程联立求得
（8分）
∵∴（9分）
∴⊙O1的圆心O1到x轴的距离（10分）
又知在上是单调递减函数
∴当时，，
∴（12分）
21.已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，（x＞0）．令f′（x）=0，解得x=．
则x时，函数f（x）单调递增；，函数f（x）单调递减．
①时，函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上单调递增，
因此x=t时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2．
②时，＜t+2，则x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（）=﹣+2．
综上可得：①时，x=t时，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2．
②时，x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（）=﹣+2．
（2）存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，⇔m≤，x∈[，e]．
令h（x）=，x∈[，e]．
h′（x）=，
令u（x）=x﹣xlnx+2，x∈[，e]．
则u′（x）=﹣lnx，可知x∈时单调递增；x∈（1，e]时单调递减．
且u（）=+2＞0，u（e）=2＞0，因此u（x）＞0．
令h′（x）=0，解得x=1，可得：x=1是函数h（x）的极大值点，即最大值，h（1）=﹣1．
∴m≤﹣1．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．
（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|•|PB|=7．
[选修4-5：不等式选讲]
23.选修4-5：不等式选讲
已知，其中.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为，求的值.
23. 解：（Ⅰ）当时，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得；
所以的解集为或.
（Ⅱ）记，则
由，解得，
又已知的解集为，
所以于是.
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