江苏省南京市2018届高三上学期学情调研（9月）数学Word版含答案.doc

www.ks5u.com 南京市2018届高三年级学情调研 ‎ 数 学 2017 .09‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝ ▲ ．‎ ‎2．若(a＋bi)(3－4i)＝25 (a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为 ▲ ．‎ ‎3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 Y ‎（第4题）‎ 结束 输入x x≥0‎ y←2x 输出y N 开始 y←log2(－x)‎ 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽 取的学生人数为 ▲ ．‎ ‎4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入 x的值为 ▲ ．‎ ‎5．记函数f(x)＝ 的定义域为D．若在区间 ‎[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为 ▲ ．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦点到 其渐近线的距离为 ▲ ．‎ ‎7．已知实数x，y满足条件则z=3x－2y的最大 ‎ 值x O y ‎(第9题）‎ p ‎2‎ 为 ▲ ．‎ ‎8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得 ‎ 圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm2.‎ ‎9．若函数f(x)＝Asin(wx＋j)(A＞0，w＞0，|j|＜p)的部分图 ‎ 象如图所示，则f(－p)的值为 ▲ ．‎ ‎10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S‎2m－1＝110， 则m的值为 ▲ ．‎ ‎11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ．若·＝－，则实数λ 的值为 ▲ ．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的 对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为 ▲ ．‎ ‎14．已知函数f (x)＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎ 在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：‎ ‎（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；‎ A1‎ B1‎ C1‎ A B C E ‎(第15题）‎ ‎（2）A‎1C//平面AB1E．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．‎ ‎（1）若c＝‎2a，求的值；‎ ‎（2）若C－B＝，求sinA的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．‎ ‎（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；‎ ‎（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．‎ y x B A M N O P ‎(第18题）‎ l ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．‎ ‎（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；‎ ‎（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，‎ 记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，‎ 且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．‎ ‎（1）求a1的值； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．‎ 南京市2018届高三年级学情调研卷 ‎ 数学附加题 2017.09‎ 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，‎ DA＝DC．求证： CA＝3CB．‎ D A B C O ‎（第21A题）‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设二阶矩阵A＝．‎ ‎（1）求A－1；‎ ‎（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C¢：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．‎ D．选修4—5：不等式选讲 ‎ 解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD ‎＝1．‎ ‎（1）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；‎ ‎（2）求二面角B－PD－A的余弦值．‎ C D P B A ‎（第22题）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．‎ ‎（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；‎ ‎（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．‎ 南京市2018届高三年级学情调研 数学参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）‎ ‎1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 5． ‎ ‎6．3 7． 6 8．18p 9．－1 10．6 ‎ ‎11．(－∞，2] 12． 13．－ 14．[0，2]∪[3，8]‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ A1‎ B1‎ C1‎ A B C E ‎(第15题）‎ F 证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，CC1^平面ABC．‎ 因为AEÌ平面ABC，‎ 所以CC1^AE． ……………2分 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE^BC． ‎ 因为BCÌ平面B1BCC1，CC1Ì平面B1BCC1，‎ 且BC∩CC1＝C，‎ 所以AE^平面B1BCC1． ………………5分 因为AEÌ平面AB1E，‎ 所以平面AB1E^平面B1BCC1. ……………………………7分 ‎（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．‎ 在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，‎ 所以F为A1B的中点． ……………………………9分 又因为E是BC的中点，所以EF∥A‎1C． ……………………………11分 因为EFÌ平面AB1E，A‎1CË平面AB1E，‎ 所以A‎1C∥平面AB1E. ……………………………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（1）解法1‎ 在△ABC中，因为cosB＝，所以＝． ………………………2分 因为c＝‎2a，所以＝，即＝， ‎ 所以＝． ……………………………4分 又由正弦定理得＝，‎ 所以＝． ……………………………6分 解法2‎ 因为cosB＝，B∈(0，p)，所以sinB＝＝．………………………2分 因为c＝‎2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，‎ 所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC， ‎ 即－sinC＝2cosC． ………………………4分 又因为sin‎2C＋cos‎2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝， ‎ 所以＝． ………………………6分 ‎（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝． …………………………8分 又0＜B＜π，所以sinB＝＝，‎ 所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝． …………………………10分 因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，‎ 所以sinA＝sin(－2B)‎ ‎ ＝sincos2B－cossin2B ………………………………12分 ‎ ＝×－(－)× ‎ ＝． …………………………………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为t1＝， ………………………2分 t2＝＝ ， ………………………4分 所以f(x)＝t1＋t2＝＋， ………………………5分 定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． ………………………6分 ‎（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)]( ＋)‎ ‎＝10[10＋＋ ]． ………………………10分 因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，‎ 所以＋ ≥2＝6， …………………12分 当且仅当＝，即当x＝75时取等号． …………………13分 答：当x＝75时，f(x)取得最小值． ………………………14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以a2＝4b2． ………………………2分 又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1， ………………………3分 解得a2＝4，b2＝1．‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． ………………………5分 ‎（2）解法1‎ 设P(x0，y0)，－2＜x0＜2， x0≠1，则＋y02＝1．‎ 因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，‎ 所以2－x0＝m． ………………………7分 由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，‎ ‎ 令x＝m，得y＝，即M(m，)．‎ 因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，‎ 所以kPB·kMB＝·＝－1， ………………………10分 即＝－1．‎ 因为＋y02＝1．所以＝1． ………………………12分 因为x0＝2－m ，所以化简得‎3m2‎－‎10m＋4＝0，‎ 解得m＝． ………………………15分 因为m＞2，所以m＝． ………………………16分 解法2‎ ‎①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ‎②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，‎ 联立消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．‎ 因为xA＝－2，所以xP＝，所以yP＝，‎ 所以P(，)． ………………………8分 因为PN的中点为B，所以m＝2－＝．(*) ……………………10分 因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，‎ 因为直线PB与x轴不垂直，所以≠1，即k2≠，‎ 所以kPB＝＝，kMB＝．‎ 因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，‎ 所以·＝－1．（**） ………………………12分 将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，‎ 解得k2＝，所以m＝＝． ………………………15分 又因为m＞2，所以m＝． ………………………16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋‎6a，‎ 所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f ′(0)＝‎6a， ‎ 所以‎6a＝3，所以a＝． ………………………2分 ‎（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，‎ 所以－(a＋1)≥． ………………………4分 令g(x)＝，x＞0，则g¢(x)＝．‎ 令g¢(x)＝0，解得x＝．‎ 当x∈(0，)时，g¢(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；‎ 当x∈(，＋∞)时，g¢(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．‎ 所以g(x)max＝g()＝， ………………………6分 所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，‎ 所以a的取值范围为(－∞，－1－]． ………………………8分 ‎（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，‎ 所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋‎6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝‎3a－1，f(2)＝4．‎ 令f ′(x)＝0，则x＝1或a． ………………………10分 f(1)＝‎3a－1，f(2)＝4．‎ ‎①当1＜a≤时，‎ 当x∈(1，a)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；‎ 当x∈(a，2)时，f ¢(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．‎ 又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋‎3a2，‎ 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋‎3a2)＝a3－‎3a2＋4．‎ 因为h¢ (a)＝‎3a2－‎6a＝‎3a(a－2)＜0，‎ 所以h(a)在(1，]上单调递减，‎ 所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．………………………12分 ‎②当＜a＜2时，‎ 当x∈(1，a)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；‎ 当x∈(a，2)时，f ¢(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．‎ 又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝‎3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋‎3a2，‎ 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝‎3a－1－(－a3＋‎3a2)＝a3－‎3a2＋‎3a－1．‎ 因为h¢ (a)＝‎3a2－‎6a＋3＝3(a－1)2≥0．‎ 所以h(a)在(，2)上单调递增，‎ 所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝． ………………………14分 ‎③当a≥2时，‎ 当x∈(1，2)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，‎ 所以M(a)＝f(1)＝‎3a－1，m(a)＝f(2)＝4，‎ 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝‎3a－1－4＝‎3a－5，‎ 所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．‎ 综上，h(a)的最小值为． ………………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得‎3a12＝a12＋‎2a1，即a12－a1＝0．‎ 因为a1＞0，所以a1＝1． ………………………2分 ‎（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn， ①‎ 所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②‎ ‎②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．‎ 因为an＋1＞0，‎ 所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2， ③ ………………………5分 所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④ ‎ ‎④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1， ‎ 所以当n≥2时，＝2． ………………………8分 又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，‎ 即a22－‎2a2＝0．‎ 因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成立， ‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*． ………………………10分 ‎(3)由(2)可知Sn＝2n－1．‎ 因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，‎ 所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k， ………………………12分 所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．‎ 由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．‎ 当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ………………………14分 当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，‎ 所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．‎ 综上，k＝2，t＝3． ………………………16分 ‎ ‎ 南京市2018届高三年级学情调研 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ D A B C O ‎（第21A题）‎ A．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD，因为DA=DC，‎ 所以∠DAO=∠C．………………………2分 在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO， ‎ 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．‎ ‎………………………5分 因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°， ‎ 从而ÐDOC＋ÐC＝90°，即‎2ÐC＋ÐC＝90°，‎ 故∠C＝30°， ………………………7分 所以OC＝2OD＝2OB，‎ 所以CB＝OB，所以CA＝3CB． ………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝． ………………………4分 ‎（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P¢(x¢，y¢)，‎ 则＝ ＝，所以……………………8分 因为(x¢，y¢)在曲线C¢上，所以6x¢2－y¢2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，‎ 化简得8y2－3x2＝1，‎ 所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1． ………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．‎ ‎………………………2分 由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－‎2a)2＝1．‎ ‎………………………4分 因为直线l与圆C相切，所以＝1， ………………………8分 解得a＝1±． ‎ 所以实数a的值为1±． ………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 解：(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；……………………2分 ‎(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 ‎(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ C D P B A ‎（第22题）‎ x y z ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）以{，， }为单位正交基底，建立如图所示的空 间直角坐标系A－xyz．‎ 因为AP＝AB＝AD＝1，‎ 所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．‎ 设C(1，y，0)，‎ 则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)． ‎ ‎ …………………………2分 因为直线PB与CD所成角大小为，‎ 所以|cos＜，＞|＝||＝，‎ 即＝，解得y＝2或y＝0（舍），‎ 所以C(1，2，0)，‎ 所以BC的长为2． ………………………5分 ‎（2）设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．‎ 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，‎ 则即 ‎ 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)． ………………………7分 因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，‎ 所以cos＜n1，n2＞＝＝， ‎ 所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为． ………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）两个球颜色不同的情况共有C×42＝96(种). ………………………3分 ‎（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．‎ P(X＝0)＝＝， ………………………5分 P(X＝1)＝＝， ‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝．‎ 所以随机变量X的概率分布列为： ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎………………………8分 所以E(X)＝0´＋1´＋2´＋3´＝． ………………………10分