2018届高三六校第一次联考
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，且，则为（ ）
A． B． C．2 D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．若，则
B．向量，（）垂直的充要条件是
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题
7．已知，为异面直线，，为平面，，.直线满足，，，，则（ ）
A．，且 B．，且
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
8．若，满足则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
10．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于对称
C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数
11．数列满足，且（），则等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若，则的二项展开式中的系数为 ．
14．已知直线与圆：交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为 ．
15．若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 ．
16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，，（）出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分，则100次重复试验的总得分的方差为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在，，
（1）若，求的长
（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值.
18．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，
（1）求证：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
19．某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：
（参考公式和计算结果：
，，，）
（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.
（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确
到0.01）相比于（1）中的，，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.
20．已知椭圆：（）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线：（，）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．设函数有两个极值点、，且
（1）求的取值范围，并讨论的单调性；
（2）证明：
四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.
23．已知.
（1）将的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象.
（2）若，对，，恒成立，求的取值范围.
六校第一次联考理科数学参考答案
一、选择题
1-5:ABBCD 6-10:DDDBC 11、12：AA
二、填空题
13．180 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）设，则由余弦定理有：
即
解得：
所以
（2）因为，所以.
在中，由正弦定理可得：，
因为，所以.
所以，所以.
18．（1）证明：取的中点，连接，
，为等腰直角三角形
∴，
又∵，，∴是等边三角形.
∴，，∴∴
∵平面，又平面，∴平面平面
（2）解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，如图建系
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
解得：，∴
同理求得平面的一个法向量为
，所以二面角的余弦值为.
19．解：（1）因为，.
回归直线必过样本中心点，则.
故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24.
（2）因为，，，，
所以，
，即，，，.
，，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井.
（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4，
，，
.
20．解：（1）∵椭圆：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴，∴
又∵椭圆经过点，代入可得.
∴，故所求椭圆方程为.
（2）首先求出动直线过点.
当与轴平行时，以为直径的圆的方程：
当与轴平行时，以为直径的圆的方程：
由解得
即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点.
证明如下：
当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点
当直线不垂直于轴，可设直线：
由消去得：
记点、，则
又因为，
所以
所以，即以为直径的圆恒过点
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.
21．解：（1）（）
令，其对称轴为
由题意知、是方程的两个均大于的不相等的实根，
其充要条件为，得
当时，，∴在内为增函数；
当时，，∴在内为减函数；
当时，，∴在内为增函数；
（2）由（1）知，∴，
由得，
∴
设（），
则
当时，，∴在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以，当时，
故.
22．解：（1）由，得，
化成直角坐标方程，得，即直线的方程为.
依题意，设，则点到直线的距离
当，即，时，，
故点到直线的距离的最小值为.
（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，
所以对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
所以，又，所以.
故的取值范围为.
23．解：（1）由已知，得
函数的图象如图所示.
（2）因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
因为恒成立，
所以，结合图象知，
所以的取值范围是.
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