山东省济南第一中学2018届高三上学期开学考试试数学理试题Word版含答案.doc

济南一中高三年级第一学期开学检测 数学试题(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则中元素的个数为( )‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎2.若集合中只有一个元素，则( )‎ A． B． C． D．0或 ‎3.已知命题，，则是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.数列，，，，…，，…的前项和的值等于( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )‎ A．1盏 B．3盏 C.5盏 D．9盏 ‎6.函数的定义域为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的零点个数为( )‎ A．1 B．‎2 C.3 D．4‎ ‎9.已知函数，则( )‎ A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 ‎ C. 是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 ‎10.函数的图象大致是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设，则等于( )‎ A． B． C. D．不存在 ‎12.函数的最大值为( )‎ A．4 B．‎5 C.6 D．7‎ ‎13.已知平面向量与的夹角等于，若，，则( )‎ A. B. C. D.61‎ ‎14.已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则等于( )‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎15.设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，，则等于( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎16.函数的最大值是 ．‎ ‎17.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是_______.‎ ‎18.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是_______.‎ ‎19.函数的单调递增区间是 .‎ ‎20.设等比数列满足，，则 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎21.的内角所对的边分别是，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，的面积为2，求.‎ ‎22.已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.‎ ‎(1)求和的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)若，求的最大值；‎ ‎(2)若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎24.设函数.‎ ‎(1)求的单调区间和极值；‎ ‎(2)证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 济南一中高三年级第一学期开学检测 数学试题(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDBAB 6-10:CABAB 11-15：CBBBB 二、填空题 ‎16. 17.或 18. 19.， 20.‎ 三、解答题 ‎21.(1)由题设及，，故，‎ 上式两边平方，整理得，‎ 解得(舍)，.‎ ‎(2)由得，故，‎ 又，则 由余弦定理及得：‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎22.(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以，‎ 又因为，解得，所以.‎ 由，可得①.‎ 由，可得②‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎(2)解：设数列的前项和为.‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎.‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎23.解：(1)若，则，，‎ ‎∵，∴，∴在上为增函数，‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵，即对恒成立，‎ ‎∴，，‎ 令，，则，‎ ‎∵，∴，∴在上递减，‎ ‎∴，∴.‎ ‎24.解：(1)由，得且，‎ 由，解得(负值舍去)，‎ 与在区间上的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 在处取得极小值.‎ ‎(2)证明：由(1)知，在区间上的最小值为，‎ 因为存在零点，所以，从而，‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点，‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎