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高三文科数学月考试题
学校： 姓名： 班级： 考号：
评卷人
得分
一、选择题
1. [2017·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于 ( )
A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,2] D.
2. [2017·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 ( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
3. [2017·哈三中一模]下列结论中正确的个数是 ( )
①“x=”是“”的充分不必要条件;
②若a>b,则am2>bm2;
③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;
④函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. [2017·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )
A. y=ex+e-x B. y=ln(|x|+1) C. y= D. y=x-
5. [2017·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
6. [2017·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有 ( )
A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对
7. [2017·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. [2017·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误的是 ( )
A. 其图象关于直线x=-对称
B. 其图象可由y=2sin+1图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到
C. 其图象关于点对称
D. 其值域为[-1,3]
9. [2016·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC的面积为 ( )
A. 1+ B. C. 1+ D.
10. [2016·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有 ( )
A. φ=θ B. φ=π-θ C. φ=θ-π D. φ=θ-2π
11. [2017·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则 ( )
A. 81 B. 99 C. 108 D. 117
12. [2017·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
评卷人
得分
二、填空题
13. [2017·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角 , ,所对的边长分别为,若,则 的值为 .
14. [2017·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= .
15. [2017·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为 .
16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则的最小值为 .
评卷人
得分
三、解答题
17. [2017·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.
(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;
(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.
18. [2017·吉林长春高三二模(文)]已知数列{an}满足a1=,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若数列{bn}满足bn=an-,求证:{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
19. [2017·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为.
20. [2017·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.
(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;
(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.
21. [2017·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.
22. [2017·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.
(1)求的大小;
(2)设的平分线交于,求的值.
参考答案
1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.
因为x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,根据指数函数的性质知y=2x>0,
所以集合A=,B=,则A∩B=,故选A.
2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.
函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.
3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.
对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x++2kπ或x++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y=与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x)=-cos x在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.
4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性知识,属于基础题.
A,B选项中的函数为偶函数,排除,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.
5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在研究函数中的应用,解一元二次不等式、绝对值不等式,属于难题.
∵f(-x)= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x)=恒为正,即函数f(x)在单调递增,
∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+10),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,
得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.
7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不一定是奇函数,故的图象不一定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.
8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.
关于函数y=2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y=2sin+1图象上所有点的横坐标变为原来的倍,可得y=2sin+1的图象,故B正确;令x=π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.
9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB=90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC=,故选D.
10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ=
=- () =-cosθ=cos(θ-π).因为θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.
11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算能力.
,
.故选D.
12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
13. 【答案】4
【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算能力.由正弦定理可得=,又因为==,所以=,即, 所以.
14. 【答案】
【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.
15. 【答案】
【解析】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量数量积.在中，，建立直角坐标系, ,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.
16. 【答案】
【解析】由已知可得an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得an-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴an=n2-n+33.
=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.
17.
(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x
=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,
所以f(2x)=1+2sin2x.
因为函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=2sin+1,即g(x)=2sin+1.
因为x∈,所以2x∈所以sin∈,所以g(x)∈[0,3],
所以函数g(x)的值域为[0,3].
(2) 【答案】因为f(A)=+1,所以sin A=,
因为A∈,所以cos A=.
又cos A=,a=2,b=2,所以c=4.
所以△ABC面积S△ABC=bcsin A=2.
18.
(1) 【答案】由题可知an+1=3 (n∈N*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,
所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
(2) 【答案】由第1问知bn=3n-1,从而an=3n-1+,
有Sn=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n=.
19.
(1) 【答案】由，得，
因为数列是正项数列，所以.
(2) 【答案】由第1问得,，
所以.
20.
(1) 【答案】因为AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又因为AC⊥BC,AC∩AD=A,
所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
(2) 【答案】由已知可得CD=,取CD中点为F,连接EF,
由于ED=EC=AB=,所以△ECD为等腰三角形,从而EF=,S△ECD=,
由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD=,
令A到平面CED的距离为d,
由VA-ECD=·S△ECD·d=VE-ACD=·S△ACD·1,解得d=.
所以点A到平面CED的距离为
21.
(1) 【答案】由题意得,,,
解得,所以椭圆的方程为.
(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由,
解得,设,
则.
②当直线的斜率存在时,
设直线的方程为,代入整理化简,得
,
依题意,直线与椭圆必相交于两点,
设,则,
又,
所以
=
=
=
=.
综上所述,为定值2.
(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)
22.
(1) 【答案】,
,
,
,
.
(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,
,
.
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