玉溪一中高2018届高三年级第一次月考
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，则，故选B
2. 已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则复数的共轭复数为，故选择A.
3. 某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师170人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】B
4. 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，
由上图，目标函数在点处取得最小值，最小值为，故选择C.
5. 执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）
A. 或 B. C. 1或 D. 或
【答案】D
.....................
6. 已知平面平面，则“直线平面”是
“直线平面”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】平面平面，若直线平面，则直线平面或；
平面平面，若直线平面，则直线平面不一定成立，故选择D.
7. 等差数列的前11项和，则（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】B
【解析】，所以，根据等差数列性质： ，故选择B.
8. 函数（）的最小正周期为，则满足（ ）
A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称
C. D. 当时有最小值
【答案】D
【解析】由函数（）的最小正周期为得，则，
当时，，显然此时不单调递增，A错误；
当时，，B错误；
，C错误；故选择D.
9. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数定义域为，又，函数为偶函数，排除B，C，当时，显然，当时，，故选择A.
方法点睛：已知函数解析式确定函数图像时，应考虑函数的定义域、奇偶性、单调性，可以根据这函数性质对选项进行排除，然后再考虑特殊点的函数值，一般考虑函数的零点，综合上面信息，可以选出正确答案.
10. 某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为2的等腰直角三角形，且顶点到底面的距离为2，.
11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据直线与圆的位置关系可知，若圆：上至少存在三点到直线：的距离为1，则圆心到直线的距离应满足，即，解得：，即，故选择B.
方法点睛：当圆上有三个点到直线的距离等于1时，则直线过半径中点，且垂直于半径，向圆心方向平移直线，显然圆上到直线距离为1的点有4个，符合题意，此时圆心到直线距离小于，可以根据点到直线距离公式求解参数取值范围.
12. 已知函数有两个极值点，且，若，
函数，则（ ）
A. 仅有一个零点 B. 恰有两个零点
C. 恰有三个零点 D. 至少两个零点
【答案】A
【解析】由有两个极值点，且，所以函数在递增，在上递减，在递增，大致图像如下图
又因为，所以显然为与的中点，结合上面函数图像可知，函数与函数的交点只有一个，所以方程的根只有一个，即函数的零点只有一个，故选择A.
方法点睛：根据三次函数，可以确定函数在定义域上先递增，再递减，再递增，于是为极大值点，为极小值点，再根据可知，为与
的中点，于是结合函数图像，根据数形结合可知，函数仅有一个零点，考查转化能力的应用.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，若，则__________．
【答案】2
【解析】，所以，解得.
14. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点带人方程有，所以，则所求双曲线方程为.
15. 直角的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面的距离等于__________．
【答案】1
【解析】直角的斜边CB为所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为，由球的表面积为可得球的半径，球心到平面的距离.
16. 是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列的前项和等于__________．
【答案】
【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为，则由题有，解得：，所以，，则，设数列的前n项和为，
则①
所以②；
①-②得：
所以，整理得：.
方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角，，所对应的边分别为，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求.
【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形，可化为，由于待证的是，所以将换成，然后根据公式展开，，于是有，所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当，时，，于是根据余弦定理可以求出的值.
试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，
即，
，
，
得．
（Ⅱ）由，且，，得，
由余弦定理，，
所以．
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.
（i）共有多少种不同的抽取方法？
（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
【答案】（Ⅰ）“读书迷”约210人 （Ⅱ）共有12种不同的抽取方法；所求概率
【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为 ，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率.
试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.
（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为
，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：
，，，，
，，，，
，，，，
所以共有12种不同的抽取方法．
（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，
则事件A包含，，，，，
6个基本事件，
所以所求概率．
19. 如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）到平面的距离为
【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证平面，根据线面垂直判定定理，需要证明平面内两条相交直线，由于，，所以易求，，则有，接下来证明平面，从而得到平面，，于是问题得证；（Ⅱ）求点到面的距离，可以用等体积法，即，由（Ⅰ）易知为直角三角形，于是可求其面积，在中，，于是可求其面积，根据，于是可以求出点到面的距离.
试题解析：（Ⅰ）连接，在平行四边形中，
，，
∴，，从而有，
∴．
∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，平面
从而有．
又∵，为的中点，
∴，又∵，
∴平面．
（Ⅱ）设点到平面的距离为，
在中，，，∴．
在中，，，∴．
由得，，
∴．
所以点到平面的距离为．
方法点睛：求几何体体积常用的方法有：（1）分割求和法：把不规则图形分割成规则图形，然后进行体积计算；（2）补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；（3）等体积法：选择适当的底面图形求几何体的体积，常用于三棱锥.
20. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）椭圆Γ的方程为 （Ⅱ）直线的方程为
【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查求椭圆标准方程，根据点在椭圆上，代入得，又离心率，于是可以求出的值，得到椭圆标准方程；（Ⅱ）点在轴上的射影的坐标为，过点N的直线分两种情况进行讨论，当斜率为0时，经分析，不满足，当的斜率不为0时，可设方程为，与椭圆方程联立，消元，得到关于的一元二次方程，设，，由，得，于是可以根据前面的关系式求出的值，得到直线方程.
试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，解得，，
所以椭圆Γ的方程为．
（Ⅱ）由已知N的坐标为，
当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
代入，整理得，，
设，则
，① ，②
由，得，③
由①②③解得．
所以直线的方程为，即．
21. 已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.
【答案】（Ⅰ）的最小值是 （Ⅱ）证明见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ） ，函数定义域为R，求导数，，分别令，，根据函数单调性，确定函数的最小值；（Ⅱ）由曲线与仅有一个交点，可设函数，函数的定义域为，于是对函数求导，研究的单调性及导数为0的根，从而确定函数的最值，曲线与在点处有相同的切线，再求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故时，取得最小值．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）得在单调递增，又，，
所以存在使得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以)的最小值为，
由得，所以曲线与在点处有相同的切线，
又，所以，
因为，所以．
方法点睛：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目的要求，画出函数图像走势规律，标明函数极（最）值点位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体体现.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22. 点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
【答案】（Ⅰ）曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为
（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围.
【答案】（Ⅰ）的解集为 （Ⅱ）的取值范围是
【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值的几何意义可得的解集为．
（Ⅱ）分，三种情况去绝对值解不等式即可
试题解析：（Ⅰ）,
所以表示数轴上的点到和1的距离之和，
因为或2时，
依据绝对值的几何意义可得的解集为．
（Ⅱ），
当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；
当时，，
由得，解得，又因为，所以；
当时，，解得，
综上，的取值范围是．
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