广东省广州市海珠区2018届高三综合测试（一）数学理试题Word版含答案.doc

海珠区201届高三综合测试（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列说法中正确的是（ ）‎ ①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；‎ ②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；‎ ④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎4.已知向量的夹角为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知为抛物线上两点，且与的纵坐标之和为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，则前项的和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D．在区间上单调递减 ‎10.执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是各项都为正数的等比数列，则前项和为，且，则 ．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎15.设函数，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 ．‎ ①当时，为四边形；‎ ②当时，为五边形；‎ ③当时，为六边形；‎ ④当时，为菱形.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知中的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，‎ ‎.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于的常数），现随机抽取件合格产品，测得数据如下：‎ 尺寸 质量 对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的件合格产品中再任选件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎20. 已知椭圆的焦距为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BADDA 6-10:BDCCB 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ①②④ ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以，‎ 由正弦定理，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 由，可得.‎ ‎（2）由余弦定理，‎ 又，得，‎ 所以的面积.‎ ‎18.解：（1）取的中点为，连接，‎ 为等边三角形，.‎ 底面中，可得四边形为矩形，‎ ‎，‎ 平面，‎ 平面.‎ 又，所以.‎ ‎（2）由面面知，平面，两两垂直，直线与平面所成角为，即，‎ 由，知，得.‎ 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ‎，， ‎ 设平面的法向量为.‎ ‎，则，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，则，‎ ‎,‎ 由图可知二面角的余弦值.‎ ‎19.解：（1）对，两边取自然对数得，‎ 令，得，‎ ‎，‎ ‎，得，‎ 故所求回归方程为.‎ ‎（2）由，解得，即优等品有件.‎ 所以的可能取值是.‎ ‎，‎ ‎.‎ 其分布列为：‎ 所以，.‎ ‎20.解：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，‎ 所以.‎ 因为，‎ 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点，则，‎ 由消去得，（*）‎ 则，‎ 因为，即，‎ 化简得.‎ 即.（**）‎ 代入得，‎ 整理得，‎ 所以或.‎ 若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，‎ 所以直线的斜率为定值，该值为.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为.‎ 由，得.‎ ①当时，恒成立，函数在上单调递增，‎ 又，‎ 所以函数在定义域上有个零点.‎ ②当时，则时，时，.‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当.当，即时，又，‎ 所以函数在定义域上有个零点.‎ 综上所述实数的取值范围为.‎ 另解：函数的定义域为.‎ 由，得.‎ 令，则.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 故时，函数取得最大值.‎ 因，两图像有交点得，‎ 综上所述实数的取值范围为.‎ ‎（2）要证明当时，，‎ 即证明当时，，即.‎ 令，则.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，.‎ 于是，当时，.①‎ 令，则.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，.‎ 于是，当时，.②‎ 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.‎ 故当时，.‎ ‎22.解：（1）由，的，‎ 消去得直线的普通方程为.‎ 由，‎ 得.将代入上式，‎ 曲线的直角坐标方程为，即.‎ 得曲线的直角坐标方程为（为参数，）‎ ‎（2）设曲线上的点为，‎ 由（1）知是以为圆心，半径为的圆.‎ 因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，‎ 或者，‎ 故得直角坐标为或者.‎ ‎23.解：（1）不等式等价于或或，‎ 解得或，‎ 所以不等式的解集是；‎ ‎（2）存在，使得成立，‎ 故需求的最大值.‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得实数的取值范围是.‎