茂名市五大联盟学校9月份联考
数学试卷(文科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中的元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知，为虚数单位，，则( )
A． B．0 C． D．1
3.已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )
A． B．0 C． D．
4.已知，，，这三个数的大小关系为( )
A． B． C. D．
5.的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )
A．2 B．3 C.4 D．5
6.设满足约束条件，则的最大值为( )
A．3 B． C.1 D．
7.已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则( )
A．1 B． C. D．0
8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )
A．80 B．84 C.88 D．92
9.在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )
A．7 B．8 C.9 D．10
10.函数的图象大致是( )
A． B． C. D．
11.已知双曲线的虚轴上、下端点分别为，右顶点为，右焦点为，若，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C. D．
12.已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，若，则 ．
14.已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为 ．
15.若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是 ．
16.设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，(为自然对数的底数)，则的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
19.如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
20.已知函数的图象过点.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有3个零点，求的取值范围.
21.已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极小值，设此时函数的极大值为，证明：.
22.已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
23.已知函数.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
茂名市五大联盟学校9月份联考
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题
1-5:BABCB 6-10:ADAAD 11、12：CC
二、填空题
13.2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)因为，所以集合可以分为或两种情况来讨论：
当时，.
当时，得.
综上，.
(2)若存在实数，使，则必有，无解.
故不存在实数，使得.
18.解：(1)因为，所以.
又，.
解得.
(2)由(1)知.
因为，由，得，
由得，，
所以函数在上递减，在上递增.
因为，，.
所以函数在上的值域为.
19.(1)证明：连接，因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，从而，
同理可证，因此，
由于四边形为正方形，所以，又平面平面，
平面平面，
故平面，从而，
又，故平面，所以..
(2)因为，
.
所以，三棱锥的体积为.
20.解：(1)因为函数的图象过点.
所以，解得，
即，所以.
由，解得；
由，得或.
所以函数的递减区间是，递增区间是，.
(2)由(1)知，
同理，，
由数形结合思想，要使函数有三个零点，
则，解得.
所以的取值范围为.
21.解：(1)当时，，故.
又，则.
故所求切线方程为.
(2)∵
，
∴当时，，故在上递减.
当时，，；，，
故的减区间为，，增区间为，
当时，，；，，
故的减区间为，，增区间为.
综上所述，当时，在上递减；
当时，的减区间为，，增区间为；
当时，的减区间为，，增区间为.
(3)依据(2)可知函数在处取得极小值时，，
故函数在处取得极大值，即，
故当时，，即在上递减，
所以，即.
22.解：(1)直线的普通方程为即，
曲线的直角坐标方程是，
即.
(2)直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以，
.
不妨设，则，
所以.
23.(1)证明：因为，
又，所以，
所以.
(2)解：可化为，
因为，所以(*)，
①当时，不等式(*)无解，
②当时，不等式(*)可化为，
即，解得，
综上所述，.
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