2017-2018学年第一学期宝安区高三调研测试卷
数学（理科）
2017.9
全卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（ ）1．已知全集U=R，集合A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(CUA)∩B=
A． B． C． D．
（ ）2．某居民小区为如图所示矩形ABCD，A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常).
A． B．
C． D．
（ ）3．“”是“复数在复平面内对应的点在第三象限”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（ ）4．设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于
A．12 B．24 C．36 D．48
（ ）5．已知，则的大小关系是
A． B． C． D．
（ ）6．把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
A．， B．，
C．， D．，
（ ）7．执行右图的程序框图，若输出的，
则输入整数的最大值是
A．15 B．14
C．7 D．6
（ ）8．展开式中的系数为
A．20 B．15
C．6 D．1
（ ）9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函
数，且f(1)＝0，则不等式
的解集为
A．(－∞，－1]∪(0,1] B．[－1,0]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,0)∪(0,1]
（ ）10．一个四面体的三视图如图所示,则该四面
体的表面积是
A．1+
B．1+2
C．2+
D．2
（ ）11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若 |AF|=2|BF|，则线段AB的长为．
A． B． C． D．
（ ）12．已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为,且的前 项和为，则=
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，则 .
14．设满足约束条件，则的最大值为 .
15．如图，已知双曲线的右顶点
为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条
渐近线交于两点，，若，且，
则双曲线的离心率为 .
P
16．如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸
片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角
三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合
于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的
包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大, 则EF长
为 cm ．
三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知，A为锐角
（I）求角A的大小；
（II）若，, 求△ABC的面积S．
18．（本小题满分12分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计条形图如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.
从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望. ．
P
A
B
C
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面为边长为的正三角形，底面为以为斜边的等腰直角三角形， ．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的的余弦值 .
20．已知椭圆的左焦点的离心率为是 和 的等比中项．
（1）求曲线的方程；
（2）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于 两点，若，求的值．
21．（本小题满分12分）已知函数，
（1）若，试判断函数的零点个数；
（2）若函数 在定义域内不单调且在上单调递减，求实数的取值范围。
（二）选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
,已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于两点.
（1）写出曲线和直线的普通方程；
（2）若成等比数列, 求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
2017-2018学年第一学期宝安区高三调研测试卷
数学（理科）参考答案 2017.9
1-12 BCBB DDAA CCBB
13. 5 14. 3 15. 16. 20
17. 【解】 (I)由， 得
2sin2A=sin (B+C)= sinA， .----2分
解得sin A＝或sin A＝0(舍去)． ----4分
因为A为锐角，所以A＝ -----6分
(II)由正弦定理，得sin B+sin C＝sin A+·sin A＝（b+c）=1+ ,
所以 —8分
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得所以
，所以 ---- 10分
S＝bcsin A＝ ---12分
19. 证明：（Ⅰ）取中点，连结．
，．
，．，
平面．----3分
平面，
，又∵，∴- ----6分
A
C
B
P
z
x
y
E
解：（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．设．---8分
，，． ----9分
取中点，连结．， ，
，．
是二面角的平面角．
，，， ---10分
．
二面角的余弦值为． -------- -12分
20.【答案】（1）; (2) .
【解析】
（1） 由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；
。。。。。。。。。。。。。5分
（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，
①当时，由，知，则，
于是，此时；。。。。。。。。。。6分
（2）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，
设，则，
由，可得，
则，。。。。。。。。。。。8分
由可得：，
由于，
设与椭圆的两个交点坐标依次为，
于是，
∴
。。。。。。。。。。。。。10分
，综上所述总有． 。。。。。。。。。。。。。。12分
21. 解析：（解法1 ） 。。。。。。。。。。。。。1分
正
0
负
增
极大值
减
。。。。。。。。。。。。3分
由表可知，在处取得最大值，最大值为，因为，所以
。。。。。。。。。。。。5分
因为图像是先增后减，函数的零点个数为零个或者一个，
当时有1个零点；
当时无零点。 。。。。。。。。。。。。6分
（解法2 ）, 。。。。。。。。。。。1分
得即，所以函数的零点个数
等价于两函数与图像的交点个数 。。。。。。。。。。。。。2分
设两者相切时切点为，则由且得。。。4分
由图可知：
当时，两函数图像有1个交点，有1个零点；
时，两函数图像无交点，无零点； 。。。6分
（解法3 ）, 。。。。。。。。1分
得即，所以，所以函数
的零点个数等价于两函数与的交点个数， 。。。。。。。。2分
因为 ，
所以，
时，有极大值， 。。。。。。。。4分
如图所示
由图可知时，两函数图像无交点，无零点；
当 时，两函数图像有一个交点，有一个零点；
。。。。。。。。。。6分
（2）（解法1 ）由（1）知， 时，无零点或一个零点，，函数在定义域内单调递减 ，函数在定义域内不单调时， ……… 8分
在上单调递减时，，即恒成立，亦等价于时，， ………… ……… 9分
，
① 当时，，递增，不合题意；
② 当时，，此时，递减，
时，由得，解得，
所以
③ 当时，，时
正
0
负
增
极大值
减
由表可知时，取最大值，最大值为，不合题意
………… ……… 11分
综上可得 ………… ……… 12分
（解法2）由（1）知， 时，无零点或一个零点，，函数在定义域内单调递减 ，函数在定义域内不单调时， ………… ……… 8分
在上单调递减时，，即恒成立
由得，令，则恒成立， ……… 9分
因为， 所以 时，单调递减，
XXX， 由恒成立得，解得， ……… 11分
综上可得 ………… ……… 12分
22． 解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，
即 y2=2ax，
直线L参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2 …… 4分
（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），
代入y2=2ax得到，
则有 ………… ……… 8分
因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以
即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a）
解得 a=1 ………… ……… 10分
23． 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，
∴①，或②，或③．
解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得 ＜x≤2．
故由不等式可得，
即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}． ………… ……… 5分
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴，解此不等式得．
故实数a的取值范围为． ………… ……… 10分
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