河北省承德二中2018届高三上学期第一次月考理数试题Word版含答案.doc

高三数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A．-2 B．‎2 C．-4 D．4‎ ‎3. 在中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）‎ A． 15 B．‎16 C. 17 D．18‎ ‎5. 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ A B C D ‎10. 已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为-6，则的值为（ ）‎ A． -1 B．‎0 C. 1 D．2‎ ‎11.若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12. 直线与抛物线相交于两点，，给出下列4个命题：‎ 的重心在定直线上；的最大值为；的重心在定直线上；的最大值为.其中的真命题为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，若，则 ．‎ ‎14.若，则 ．‎ ‎15.若的展开式中的系数为20，则 ．‎ ‎16.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且 ‎，则 ．‎ 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） ‎ ‎17. 在等差数列中，，公差.记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.‎ ‎18.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若异面直线与所成角为60°，，求二面角的大小.‎ ‎19.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：‎ ‎①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点 的残差（也叫随机误差））；‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本(元)‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎ ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.‎ ‎（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.‎ ‎20. 如图，设椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点为右焦点.直线与的交点到轴的距离为.过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切.‎ ‎21.已知函数的图象在处的切线过点.‎ ‎（1）若函数，求的最大值（用表示）；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎（二）选考题共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.‎ ‎（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；‎ ‎（2）求.‎ ‎23. 【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ （1） 求不等式的解集；‎ （2） 若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求 的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBADC 6-10: DCCBA 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 593 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）若成等比数列，则，即，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎18.（1）证明：由已知四边形为矩形，得，‎ 由于，故平面，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，‎ 所以，则，即，‎ 解得，‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取，‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取，所以，‎ 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为60°.‎ ‎19.解：（1）①经计算，可得下表：‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本(元)‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎ ‎3.1‎ ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.9‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎3.2‎ ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 残差 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎②，‎ ‎，故模型乙的拟合效果更好.‎ ‎（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元）.‎ 若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），‎ 每辆车一天收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元），‎ 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.‎ ‎20.（1）解：由题可知，∴，‎ 设椭圆的方程为，‎ 由，得，∴，‎ 故的方程为；‎ ‎（2）证明：由（1）可得，设圆的圆心为，则，‎ 圆的半径为.‎ 直线的方程为，‎ ‎（方法一）由，得，‎ 由，得，‎ 直线的方程为，即，‎ ‎∵点到直线的距离为，‎ ‎∴直线与圆相切.‎ ‎（方法二）设过与圆相切的直线方程为，‎ 则，整理得，‎ 由，得，‎ 又∵，‎ ‎∴直线与圆相切.‎ ‎21.（1）解：由，得，‎ 的方程为，又过点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减.‎ 故；‎ ‎（2）证明：∵，∴‎ ‎，∴，‎ 令，令得；令 得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎∴，∴，解得.‎ ‎22.解：（1）∵，，‎ ‎∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.‎ ‎（2）由得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 将，代入并整理得：，解得.‎ ‎∵，∴由的几何意义得，，，‎ 故.‎ ‎23.解：（1）由，得，‎ ‎∴或或，‎ 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当时，，当且仅当即 时取等号，∴，‎ 当时，递减，‎ 由得，‎ 又，结合的图象可得，.‎