江西省红色七校2018届高三第一次联考数学（理）试题Word版含答案.doc

江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科科试题 ‎（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学）‎ 命题人：会昌中学 徐流仁 分宜中学 谢平 莲花中学 周昔康 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.在右边图中，设全集集合分别用椭圆内图形表示，若集合，则阴影部分图形表示的集合为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则的虚部（　　）‎ A. 1 B. ‎-1 C. i D. -i ‎3．若，则下列结论不正确的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，是两条不同直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( )‎ A. 若，，则 ‎ B. 若，，则 C. 若，，则 ‎ D. 若，，则 ‎5.在斜三角形ABC中， （ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎6．下列命题中，正确的是（ ）‎ A．‎ B. 已知服从正态分布，且，则 C. 已知，为实数，则的充要条件是 D. 命题：“”的否定是“”‎ ‎7．观察数组： ， ， ， ，…， ，则的值不可能为（ ）‎ A. 112 B. ‎278 C. 704 D. 1664‎ ‎8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）‎ A. 5 B. ‎4 C. 3 D. 2‎ ‎9．已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称， 则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知为双曲线： （， ）的右焦点， ， 为的两条渐近线，点在上，且，点在上，且，若，则双曲线 的离心率为（ ）‎ A． B. C.或 D. 或 ‎11．如图，梯形中， ， ， ， , 和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．设，则二项式的展开式中含项的系数为__________．‎ ‎14．设满足约束条件，若的最小值为，则的值为      .‎ ‎15．设、、、为自然数、、、的一个全排列，且满足，则这样的排列有________个．‎ ‎16．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为 ．‎ 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17．如图，在中，已知点在边上，，‎ ‎，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎18．已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若，求数列的前项和.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了解患肺心病是否与性别有关，在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查，结果如下列联表:‎ ‎（Ⅰ）是否有的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．现在从这10位女性中，随机选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列和数学期望；‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 有一个侧面是正三角形的四棱锥如图（1），它的三视图如图（2）．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与正三角形侧面所成二面角的余弦值．‎ ‎21、已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程。‎ ‎（2）已知点在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点，且满足：。试问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由。‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当，时，讨论函数在区间上零点的个数；‎ ‎（2）当时，如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：．‎ 江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1-5 DADCB 6-10 BBBAD 11-12 DC 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．192 14． 15．9 16．‎ ‎17．解:(1)在中, , ，‎ 所以 . ………………………(2分)‎ 同理可得, . ……………………………………(3分)‎ 所以 ‎.………(5分)‎ ‎(2)在中,由正弦定理得, . ………(7分)‎ 又,所以. ………………………………(8分)‎ 又在中,由余弦定理得, ‎ ‎.……(10分)‎ ‎18．(Ⅰ) ；（5分）‎ ‎(Ⅱ) .（7分）‎ ‎19. （Ⅰ）因为，所以，…………………………(2分)‎ 又10.828，且 ‎ ，………………………………(3分) ‎ 故，我们有的把握认为入院者中患肺心病是与性别有关系的．………………………(5分)‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值：0，1，2，3 ， ‎ ‎，，…………………………………（8分）‎ ‎，，……………………………………（10分） ‎ 分布列如下： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则．………………………………………………（12分）‎ ‎20. （Ⅰ）由三视图可知，四棱锥中平面，…………………………(1分)‎ 同时，，四边形为直角梯形．……………………………………(2分)‎ 过点作于，则,．‎ ‎∴,，‎ ‎∴，故．……………………………………………………………(4分)‎ ‎∵平面,平面,∴.…………………………………………(5分)‎ ‎∵，∴平面．……………………………………………………………(6分)‎ ‎（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥的正三角形侧面为面．………………………(7分)‎ 为正三角形，∴．在中，．‎ 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 有．……………………………………………………(8分)‎ 由（Ⅰ）知是平面的一条法向量．……………………………………………(9分)‎ 向量，‎ 设平面的法向量为，由，得的一组解．……(10分)‎ 设平面与正三角形侧面所成二面角为，则．……………(12分)‎ ‎21、‎ 22． 解：‎ ‎（1）当，时，函数在区间上的零点的个数即方程根的个数．‎ 由， ………………………………(1分)‎ 令， …………………………(2分)‎ 则在上单调递减，这时；在上单调递增，这时．‎ 所以是的极小值即最小值，即 所以函数在区间上零点的个数，讨论如下：‎ 当时，有个零点； …………………………(3分)‎ 当时，有个零点； ………………………(4分)‎ 当时，有个零点． ………………………(5分)‎ （2） 由已知，，‎ ‎，是函数的两个不同极值点（不妨设），‎ ‎（若时，，即是上的增函数，与已知矛盾），‎ 且，．，……………(6分)‎ 两式相减得：， ……………………………(7分)‎ 于是要证明，即证明，两边同除以，‎ 即证，即证，即证， ‎ 令，．即证不等式，当时恒成立． ………(9分)‎ 设，‎ ‎．………(10分)‎ 设，，当，，‎ 单调递减，所以，即，，‎ 在时是减函数．在处取得极小值．‎ ‎，得证．． ………………………(12分)‎