高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由A中不等式变形得：(x−2)(x+1)>0，
解得：x2,即A={x∣x2}，
∵B={x|x>0}，
∴A∩B={x|x>2}=(2,+∞).
本题选择C选项.
2. 若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
【答案】B
【解析】由题意可得：，
则实部与虚部之和为.
本题选择B选项.
3. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：，
则。
本题选择A选项.
4. 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】D
【解析】由双曲线的方程可知：，
则，
据此可知的周长为.
本题选择D选项.
点睛：双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验
5. 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：
每个实数都大于的概率为，
则3个实数都大于的概率为.
本题选择C选项.
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为2，
故.
本题选择D选项.
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根
据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，
据此整理可得：，
则：.
本题选择C选项.
点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
8. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，
结合函数图象可以排除B. D，
又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，
结合选项可以排除A，
只有C选项符合题意；
本题选择C选项.
9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
①
②
③
A
B
C
D
【答案】B
【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：，
第2次循环：，
第3次循环：，…
依此类推,第7次循环：，
此时不满足条件，退出循环，
其中判断框内①应填入的条件是：i⩽128?，
执行框②应填入：，
③应填入：i=2i.
本题选择B选项.
点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量
①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；
③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
10. 已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为-6，则的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，
结合题意可得目标函数在给定的可行域内的最小值为，
可行域的顶点坐标为，
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最小值，
即：，解得：.
本题选择A选项.
点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值
11. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
当 仅与轴交于时，与轴有三个交点，满足题意，此时与满足；当 与轴有两个交点，与轴有两个时，满足题意，此时满足；当 与轴有三个交点，与轴有一个时，满足题意，此时满足；故选C。
点睛： 与在 与轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论：与轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了的图象。
12. 直线与抛物线相交于两点，，给出下列4个命题：
的重心在定直线上；的最大值为；
的重心在定直线上；的最大值为.其中的真命题为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】联立直线与抛物线的方程整理可得：，
结合题意可得：，
且：，
则△ABC的重心坐标为，的重心在定直线上；
由弦长公式可得：，
据此可得：,
令，
则，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
据此可得：的最大值为；
本题选择A选项.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 在中，若，则__________．
【答案】
【解析】由正弦定理可得：，
不妨设，
则.
14. 若，则__________．
【答案】593
【解析】由题意可得：
∴log3x=4,log2y=9，
∴x=34=81,y=29=512，
∴x+y=81+512=593，
故答案为：593.
15. 若的展开式中的系数为20，则__________．
【答案】
【解析】(x+a)(1+2x)5的展开式中x3的系数为
，
即40+80a=20，
解得.
16. 已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，
设长方体的长宽高为，由题意可得：
........................
则球的表面积：，
结合解得：.
三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17. 在等差数列中，，公差.记数列的前项和为.
（1）求；
（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得数列的首项为1，则数列的前n项和.
(2)裂项可得，且，据此可得.
试题解析：
（1）∵，∴，∴，∴，
∴，.
（2）若成等比数列，则，
即，∴,
∵，
∴.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线与所成角为60°，，求二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）60°
【解析】试题分析：
(1)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面.
(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的大小是.
试题解析：
（1）证明：由已知四边形为矩形，得，
∵，，∴平面.
又，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，，则，，，，
所以，，则，即，
解得（舍去）.
设是平面的法向量，则，即，
可取.
设是平面的法向量，则即，
可取，所以，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：
，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.
【答案】（1）①见解析②模型乙的拟合效果更好（2）投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.
【解析】试题分析（1）①通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值，代入，即可得残差；②计算可得可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。
（1）①经计算，可得下表：
②，，
，故模型乙的拟合效果更好.
（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），
每辆车一天收入期望为，
所以一天的总利润为（元）
所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.
20. 如图，设椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点为右焦点.直线与的交点到轴的距离为.过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.
（1）求的方程；
（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)结合题意可求得，，则的方程为.
(2)由题意可得，直线与圆相切时，直线的斜率为，结合(1)中求得的椭圆方程即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）解：由题可知，，∴，，
设椭圆的方程为，
由，得，∴，，，
故的方程为.
（2）证明：由（1）可得：，设圆的圆心为，则，
圆的半径为，
直线的方程为.
设过与圆相切的直线方程为，
则，整理得：，
由，得，
又∵，
∴直线与圆相切.
21. 已知函数的图象在处的切线过点.
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)由题意可得：.结合导函数研究函数的单调性可得.
(2)由题意结合(1)的结论有，构造函数，结合函数的特征即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）由，得，
的方程为，又过点，
∴，解得.
∵，
∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
（2）证明：∵，∴，
，∴
令，，，令得；令得.
∴在上递减，在上递增，
∴，∴，，解得：.
（二）选考题共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.
（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；
（2）求.
【答案】（1）最大值，（2）
【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得，可以求出的最大值及此时点的极坐标方程；（2）将曲线转化成普通方程，将的参数方程代入，由的几何意义可得的大小，可得结论。
（1）∵，，
∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.
（2）由，得，即，
故曲线的直角坐标方程为.
将代入并整理得：，解得，
∵，∴由的几何意义得，，，
故.
点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
求不等式的解集；
若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）本题可转化为含两个绝对值的不等式，分三种情况去绝对值即可；（2）本题转化为当有三个不同交点时，的范围，可作的图象，得的范围。
（1）由，得，
∴或或，
解得，故不等式的解集为.
（2） ，
当时， ，当且仅当，即时取等号，
∴，
当时，递减，
由，得，
又，结合的图像可得.
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