高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足则，则 （ ）
A． B．41 C．5 D．25
2. 已知集合，则的子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3.在等差数列中，，公差，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4.如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（ ）
A． 点与图中的点重合 B．点与图中的点重合
C. 点与图中的点重合 D．点与图中的点重合
5. 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则（ ）
A．4 B．3 C. D．2
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）
A． B． C. D．
7. 已知点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C. -1 D．0
8.若，则（ ）
A． B． C. D．
9. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）
A． B．
C. D．
10. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
①
②
③
A
B
C
D
11.已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C. D．
12.若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组2，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为 ．
14.设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为 ．
15.若是公比为2的等比数列，且，则 ．（用数字作答）
16.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为 ．
三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17. 的内角所对的边分别为.已知，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的周长.
18.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，二面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.
19.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.
20. 如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.
（1）证明：抛物线与圆相切；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.
21.已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）若在上有最小值，求的取值范围；
（2）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围.
（二）选考题（共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.
（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；
（2）求.
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1） 求不等式的解集；
（2） 若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBDCA 6-10: DBCCB 11、12：AB
二、填空题
13. 14. 15. 1013 16.
三、解答题
17.解：（1）由，得，∴，
∵，∴，故的面积；
（2）由余弦定理得，，∴，
∴，∴，∴，
即的周长为.
18.（1）证明：由已知四边形为矩形，得，
由于，故平面，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，∴的面积为.
又，∴平面，∴，∴的面积为，
又平面，∴，∴的面积为，
又，∴的面积为8.
而的面积与的面积相等，且三棱锥与三棱锥的公共面为，
∴三棱锥与三棱锥的表面积之差为.
19.解：（1）①经计算，可得下表：
租用单车数量（千辆）
2
3
4
5
8
每天一辆车平均成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
3.1
2.4
2.1
1.9
1.6
残差
0.1
0
-0.1
0
0.1
模型乙
估计值
3.2
2.3
2
1.9
1.7
残差
0
0.1
0
0
0
②，
，故模型乙的拟合效果更好.
（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，
所以一天的总利润为（元）.
若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），
每辆车一天收入期望为，
所以一天的总利润为（元），
所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.
20.（1）证明：∵，∴，故抛物线的方程为，
联立与得，
∵，∴抛物线与圆相切.
（2）解：，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
∴，
设，
由，得，
则，
∴，
∴，设，则，
设，则，
∵，∴，∴函数在上递增，
∴，∴，即的取值范围为.
21.（1）解：，
由题意可知，解得.
所以，当，即时，递增；
当，即时，递减.
因为在上有最小值，所以的取值范围为.
（2）关于的不等式在上有解等价于
不等式在上有解.
设，则，
当，即时，递增；
当，即时，递减.
又，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
22.解：（1）∵，，
∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.
（2）由得，即，
故曲线的直角坐标方程为.
将，代入并整理得：，解得.
∵，∴由的几何意义得，，，
故.
23.解：（1）由，得，
∴或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
当时，，当且仅当即
时取等号，∴，
当时，递减，
由得，
又，结合的图象可得，.
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