高三第一次月考数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 下列函数既是奇函数，又在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A中函数是奇函数，但是在单调递减，不符。B是偶函数。D是非奇非偶函数。C中是奇函数，且在上为增函数。选C.
2. 设 ，则“|x+1|＜1”是“x2+x﹣2＜0”的( )条件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由“|x+1|＜1”得-2＜x＜0，
由x2+x﹣2＜0得-2＜x＜1，
即“|x+1|＜1”是“x2+x﹣2＜0”的充分不必要条件，
故选：A．
3. 已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】∵函数为奇函数，且当时， ，∴，故选：A
4. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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A中，当时等式不成立；
B中，当时等式不成立；
C中，当时等式不成立；
本题选择D选项.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由中， ，得到，由中，得到，即，则，故选C.
6. 已知函数的最小正周期为，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
将函数的图象向右平移个单位，可得： ，
故选：C
7. 已知奇函数在上是增函数，若， ， ，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即.
本题选择C选项.
点睛:比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助
指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
8. 已知， ，那么“”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ∵
，解得
故是“ ”的必要不充分条件
故选B．
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
9. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，
结合函数图象可以排除B. D，
又由函数f(x
)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，
结合选项可以排除A，
只有C选项符合题意；
本题选择C选项.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
10. 定义在上的函数满足，当时， ，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的周期为， 当时， 时， ，故函数在上是增函数， 时， ，故函数在上是减函数，且关于 轴对称，又定义在上的满足，故函数的周期是，所以函数在上是增函数，在上是减函数，且关于 轴对称，观察四个选项选项中 ，，故选A.
11. 已知（， ， ）是定义域为的奇函数，且当时， 取得最小值，当取最小正数时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵（， ， ）是定义域为的奇函数，
∴， ，∴.则, 当时， 取得最小值,
故， ，∴， ，∴取最小正数为，此时： ，
∴函数的最小正周期为12，且， ，
又，∴。
故选：B.
点睛： 为奇函数等价于， 为偶函数等价于， 为偶函数等价于， ； 为奇函数等价于， .
12. 已知函数满足，当时， ，若在区间上，方程只有一个解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时，则，故，所以 ，在同一平面直角坐标系中画出函数在区间上的图像和函数的图像如图，结合图像可知：当，即时，两函数的图像只有一个交点；当时，两函数的图像也只有一个交点，故所求实数的取值范围是，应选答案B。
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 已知，则__________．
【答案】-3
【解析】
14. ＝________________。
【答案】
【解析】.
15. 已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________．
【答案】
【解析】由题意，令， ，则，所以， ，即，当， ；当， ，如图所示，由勾股定理得，解得.
16. 设函数在R上存在导数,对任意的 有 ,且在 上 .若 ,则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】令 ，所以，则为奇函数 . 时，，由奇函数性质知：在R上上递增 .
则实数的取值范围是
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
三、解答题(共6道小题，共70分)
17. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）先根据因式分解求命题p为真时实数的取值范围，解分式不等式得为真时实数的取值范围，再求两者交集得为真时实数的取值范围（2）由逆否命题与原命题等价得是的充分不必要条件，即是的一个真子集，结合数轴得实数的取值条件，解得取值范围
试题解析：解：（1）由得，
又，所以，
当时， ，即为真时实数的取值范围是.
为真时等价于，得，
即为真时实数的取值范围是.
若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.
（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，
设， ，则；
则，且所以实数的取值范围是.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
18. 已知函数，
（I）求的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论在上的单调性。
【答案】(Ⅰ) 最大值为，对称中心为： ；(Ⅱ) 递增区间： 和；递减区间： .
【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为，可知最大值为2，对称中心由，解得x可求。（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与做交，即可求得单调性。
试题解析：(Ⅰ) ，所以最大值为，由，解得x=,r所以对称中心为： ；
(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由，解得，在上的增区间有和。
同理可求得f(x)的单调减区间，，在上的减速区间有.
递增区间： 和；递减区间： .
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求函数的解析式；
（2） 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象， 写出变换过程;
（3） 若，求的值.
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；
（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．
试题解析:
解：（1）.
（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.
法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.
（3）由,
得： ，
而.
点睛：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
20. 设函数．
（Ⅰ）当 ( 为自然对数的底数)时，求的极小值；
（Ⅱ）若对任意正实数、（），不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ) 取极小值为；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值；
（Ⅱ）构造函数，可知为上为减函数.
所以对任意恒成立，可求 的取值范围．
试题解析;（Ⅰ）时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时， 取极小值为。
（Ⅱ）不妨设，则有，即，
构造函数，所以，所以为上为减函数.
所以对任意恒成立
即.
21. 函数.
（I）函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（II）讨论函数的单调性；
（III）不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（I）（II）当时，函数f(x)在区间上是单调递增；
当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增（III）．
【解析】
试题分析：（I）求导，利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解；（II）求导，讨论二次方程的根的个数、根的大小关系，进而判定其单调性；（III）分离常数，转化为求函数的求值问题.
试题解析：（I）函数定义域为
由题意 ，解得.
（II）
（i）当 时，，函数f(x) 在 上单调递增；
（ii）当 时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增
（iii）当 时，，函数f(x) 在 上单调递增；
综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；
当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增
（III）等价于
令
在区间(0,1)上，函数g(x)为减函数；
在区间上，函数g(x)为增函数；
所以实数的范围是．
22. 已知函数对任意实数恒有，且当时，，又.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是R上的减函数；
(3)求在区间[－3,3]上的值域；
(4)若∀x∈R，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）[－6,6]（4）(，＋∞)
【解析】试题分析：（1）利用赋值法求f(0)＝0. 利用赋值法求f(－x)＝－f(x)，则得f(x)为奇函数．（2）根据单调性定义，利用赋值法得f(x1)，f(x2)大小关系，即得函数单调性（3）根据函数单调性即求f(3)，f(－3)，利用赋值法得f(3)，f(－3)值（4）根据关系式化简不等式得f(ax2－2x)x－2，结合二次函数图像得不等式恒成立条件：a>0，Δ＝9－8a0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a；
当a0在R上不是恒成立，不合题意．
综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．
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