双鸭山市第一中学2017-2018学年度上学期高三数学（理）学科月考考试试题
（120分钟 150分）
一、选择题
1. = （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C.
2. 设集合，,若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以，，故选C．
点睛:集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．
3. 设为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】,,故选B.
4. 在等差数列中, 若, 则( )
A. 45 B. 75 C. 180 D. 300
【答案】C
【解析】试题分析：因为数列为等差数列，且，所以
，，从而，所以，而，所以，故选C.
考点：等差数列的性质.
5. 数列的前项和为,若,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
6. 已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】两个单位向量的夹角为，，且满足，即，解得，故选B.
7. 已知命题则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.
8. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.
9. 已知中，内角的对边分别为，若，则的面积为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】试题分析：,故选C.
考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式.
10. 下列函数中，既是奇函数又上单调递增的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：选项A、C在区间非单调函数，选项D为非奇非偶函数，故选B．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性．
11. 已知， ，点满足，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得： ，则： ，
即 .
其中 ，由正弦定理： ，
整理可得：的值为 .
本题选择C选项.
点睛：三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
12. 定义在上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ）
A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能
【答案】A
【解析】
由于函数，为偶函数，且在单调递增，如图所示，函数，在上恒成立，函数在上的图象位于的图象上方，当时，由可得 ，解得 ，故 的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即 ，由于函数的值域为，故函数的图象和直线有个交点，关于的方的根有个，故选A.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．解答本题的关键是根据把
在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线的交点.
二、填空题
13. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为__________.
【答案】-2
【解析】因为数列为等差数列，所以常数=公差，又因为数列的通项公式为，所以公差为，故答案为.
14. 已知，其中，若，且在区间上有最小值，无最大值，则________．
【答案】
【解析】,,此时无法求得；或 ，或，当时，，此时在区间上有最大值，有最小值，没有最大值，满足题意，当时，，此时在区间上有最大值，不满足题意，，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质、数形结合思想及分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
___________.
【答案】
【解析】
以以为轴，以边上的高为轴建立坐标系，则，设，则， ，当时，取得最小值，故答案为.
16. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
① 对任意的，当时，都有恒成立；
② ； ③是偶函数；
若，则的大小关系是______________.
【答案】
【解析】根据题意，，当时，都有，则函数在区间上为增函数，若，则，即函数的周期为，若是偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由函数的周期为，则函数的图象关于直线对称， ，，又由函数在区间上为增函数，则有 ，即，故答案为.
第II卷（非选择题，共90分）
17. 已知平面内三个向量:.
（1）若,求实数的值；
（2）设,且满足，求.
【答案】（1）；（2）或 .
【解析】试题分析：（1）运用向量的加减和数乘运算，结合向量共线的坐标表示，解方程即可得到；（2）设出向量，运用向量共线的坐标表示列出方程，再由向量模的公式得到方程，解方程组，即可得结果.
试题解析：（1）；（2）或.
18. 等差数列的各项均为正数,, 前项和为 为等比数列,，
且.
（1）求和；
(2)求.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】略
19. 已知：函数的定义域为，：函数在上是减函数，若“”为真，“”为假，求的取值范围．
【答案】.
...............
试题解析：若为真，则在上恒成立，
当时，，显然成立，
当时，，∴，
综上，；
若为真，则，解有：，
由题知：中应一真一假，
∴或，
∴，
故：的取值范围是．
考点：1.复合命题；2.函数性质.
20. 已知数列中，且且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）要证明数列为等差数列，只需证明为常数）即可；（2）由等差数列的通项公式，进而可求，利用错位相减法可求数列的前项和.
试题解析：（1）设
=
所以数列为首项是2公差是1的等差数列.
（2）由（1）知，
①
②
②-①，得
.
【 方法点睛】本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
21. 已知函数，
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若在锐角中，已知函数的图象经过点，边，求周长的最大值
【答案】（1）,；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用两角和与差的三角函数、二倍角公式以及辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；（2）通过函数的图象经过点可得A＝，由正弦定理可得周长为，根据两角和与差的三角函数以及辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的有界性求解即可.
试题解析：f(x)＝sin－2sin2x＋1
＝－cos2x＋sin2x＋cos2x
＝cos2x＋sin2x＝sin,
(1)最小正周期：T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)可解得：kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为： (k∈Z),
(2)由f(A)＝sin＝可得：2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，
所以A＝，又，由正弦定理知，，得，
所以，，
所以得周长为=
．
因为，所以，则，
所以，所以周长的最大值为．
22. 已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求导可得 ；（2）由（1）知，．设,再利用导数工具进行求解；（3）由（2）可知，当时，，故只需证明在时成立,再利用导数工具进行证明．
试题解析：（1），由已知，， ．
（2）由（1）知，．
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而，
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（3）由（2）可知，当时，，
故只需证明在时成立．
当时，，且， ．
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值．
所以．
综上，对任意，．
考点：1、函数的导数；2、单调性；3、不等式的证明．
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．利用导数处理不等式问题．在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注
意分类讨论思想的应用．
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