百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A． B． C． D．
2.已知实数、满足（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
6.运行如图所示的程序框图，若输入的（…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，，垂足分别为，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9.已知，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
11.如图，在长方体中，，，点是长方体外的一点，过点作直线，记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（ ）
A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条
12.已知当时，关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.展开式中的系数为 ．
14.函数在上的单调递增区间为 ．
15.已知实数，满足则的取值范围为 ．
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且与双曲线的一条渐进线垂直的直线与的两条渐进线分别交于，两点，若，则双曲线的渐进线方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知中，角，，所对的边分别是，，，且，其中是的面积，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
18.如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点．
（1）试确定点的位置，使得平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．
（1）试估计该产品收益率的中位数；
（2）若该产品的售价（元）与销量（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：
售价（元）
25
30
38
45
52
销量（万份）
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
根据表中数据算出关于的线性回归方程为，求的值；
（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为，求的分布列及期望．
20.已知等差数列的前项和为，若，，（，且）．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和．
21.已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值．
22.已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，且对于任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.210 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:∵，得，得，
即，所以，
又，∴，故，，
故．
（2），所以，得①，
由（1）得，所以，
在中，由正弦定理，得，即②
联立①②，解得，，则，所以．
18.解：（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点．
连接，∵是的中点，是的中点，∴，
又平面，平面，所以直线平面，
∵，，∴，∴，
故点为线段上靠近点的三等分点．
（2）不妨设，由（1）知，
又平面平面，平面平面，
平面，∴平面．
故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
∵，，
∴为正三角形，，
∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量，则由，可得令，则，
∵，且，故，故，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：（1）依题意，设中位数为，，解得．
（2），，
∴．
（3）的可能取值为0,1,2，故，，，
故的分布列为
0
1
2
故．
20.解：（1）由已知得，且，
设数列的公差为，则由，∴，
由，得，即，∴，
∴，故．
（2）；下面先求的前项和，
①；
②；
两式相减得，
∴（）．
故的前项和为．
21.解：（1）依题意解得
故椭圆的方程为．
（2）设直线与轴相交于点，，
由于且，
得，（舍去）或，
即直线经过点，
设，，的直线方程为：，
由即，
，，
，
令，所以，
因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以（当且仅当，即时“”成立），
故的最大值为3．
22.解：（1）依题意，，
令，解得，故函数的单调递增区间为．
（2）当，对任意的，都有；
当时，对任意的，都有；
故对恒成立，或对恒成立，
而，设函数，．
则对恒成立，或对恒成立，，
①当时，∵,∴，∴恒成立，
∴在上单调递增，，
故在上恒成立，符合题意．
②当时，令，得，令，得，
故在上单调递减，所以，
而，设函数，，
则，令，则（）恒成立，
∴在上单调递增，∴恒成立，
∴在上单调递增，∴恒成立，
即，而，不合题意．
综上，故实数的取值范围为.
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