湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（文）试题Word版（含答案）.doc

益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试试卷 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的实部和虚部之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若正方形边长为为四边上任意一点，则的长度大于的概率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.《数书九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减去斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”。若把这段文字写成公式，即，现有周长为的满足，用上面给出的公式求得的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.下图中，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在的棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（ ）‎ A．①③ B．②③ C. ②④ D.②③④‎ ‎11.图中是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若函数，则 ．‎ ‎14.设变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知向量满足，记向量的夹角为，则 ．‎ ‎16.已知圆，抛物线与相交于两点，，则抛物线的方程为 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知为数列的前项和，若且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项之和.‎ ‎18. 某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采取随机抽样的方法抽取了名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为组：，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）求抽取的名学生中月上网次数不少于次的学生的人数；‎ ‎（3）在抽取的名学生中，从月上网次数少于次的学生中随机抽取人，求至少抽取到名男生的概率.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知椭圆经过，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BADDB 6-10:DABBC 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由题设得：数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知：.‎ 数列前项之和为.‎ ‎18.（1）.‎ ‎（2）在所抽取的女生中，月上网次数少于次的学生频率为，所以，月上网次数少于次的女生有，‎ 在所抽取的男生中，月上网次数少于次的学生频率为，所以，月上网次数少于次的男生有.‎ 故抽取的名学生中月上网次数少于次的学生人数有人.‎ ‎（2）记“在抽取的名学生中，从月上网次数少于次的学生中随机抽取人，至少抽到 名女生”为事件，‎ 在抽取的女生中，月上网次数少于次的学生频率为，人数为人， ‎ 在抽取的男生中，月上网次数少于次的学生频率为，人数为，‎ 则在抽取的名学生中，从月上网次数少于次的学生中随机抽取人，所有可能的结果有种，而事件包含的结果有种，所以.‎ ‎19.略解：（1）证：设，连接，则，‎ 又平面，且平面平面.‎ ‎（2）.‎ ‎20.（1）由题设得：，解得：‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.‎ ‎，其中.‎ ‎，其中.‎ 时，单调递增，（当时取等号）.‎ ‎21.（1）‎ ‎（2）‎ ①当时，显然在上单调递增；‎ ②当时，令，则，易知其判别式为正，‎ 设方程的两个根分别为，则，‎ 令得，其中，‎ 所以函数在上递增，在上递减.‎ ‎（3）由（2）知 ①当时，显然在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；‎ ②当时，函数在上递增，在上递减，‎ 要使有两个零点，必须，即，‎ 又由得：，代入上面的不等式得：‎ ‎，解得 下面证明：当时，有两个零点.‎ ‎，‎ 又，‎ 且，‎ ‎，‎ 所以在与上各有一个零点.‎ 解法二：函数有两个零点，等价于方程有两解.‎ 令，则，‎ 由得，解得，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 作出函数的简图，结合函数值的变化趋势猜想：‎ 当时符合题意.‎ 下面给出证明：‎ 当时，，方程至多一解；‎ 当时，若，则，此时方程无解；‎ 若，则函数单调递增，此时方程至多一解，‎ 所以不符合题意；‎ 当时，，‎ 所以方程在与上各有一个根，有两个零点.‎ ‎22. （1）由得：，‎ 直线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由得曲线的直角坐标方程为：，‎ 在直线上，设直线的参数方程为：‎ 代入得：，‎ ‎.‎ ‎23.（1）当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 综上，原不等式的解集为或.‎ ‎（2）.‎ 当时，等号成立.‎ 的最小值为，要使成立，故，‎ 解得的取值范围是：.‎