湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（理）试题Word版（含答案）.doc

益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试试卷 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，则函数为减函数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知命题：若复数满足，则；命题：复数的虚部为，则下面为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知等比数列中，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的倍，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.定义在上的函数，满足，当时，，当时，，则的值等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设是圆周率，是自然对数的底数，在六个数中，最小值与最大值分别是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知变量满足约束条件，记的最大值时，则 ．‎ ‎14.已知非零向量满足：，若与的夹角为，则的值为 ．‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知锐角中，内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记分，未出线记分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的.‎ ‎（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；‎ ‎（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，四棱锥的底面为棱形，面面 ‎，为的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知动圆经过点，并且与圆相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？是与无关的定值，并求出该值定值.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）若直线是函数的图象的一条切线，求实数的值；‎ ‎（2）当时，（i）关于的方程在区间上有解，求的取值范围，（ii）‎ 证明：当时，.‎ 考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由，利用正弦定理可得，‎ 可化为：，‎ ‎.‎ ‎（2）‎ ‎18.（1）记“甲出线”为事件，“乙出线”为事件，“丙出线”为事件，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件.‎ 则.‎ ‎（2）的所有可能取值为.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎.‎ ‎19.（1）取的中点，连接为菱形，，‎ 分别为的中点，.‎ 为的中点，，‎ 又面面，‎ 面面面，‎ ‎，‎ 面.‎ ‎（2）连接为菱形，‎ 为等边三角形，为的中点，，‎ 面两两垂直.‎ 以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，则为面的法向量，‎ 设面的法向量，‎ 则即，取，则，，‎ ‎，‎ 结合图形可知二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）由题设得：，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）设，直线，‎ 由得，‎ ‎.‎ ‎.‎ 的值与无关，，‎ 解得.此时.‎ ‎（方法：①当时，…；②当时，设直线，…；可以减少计算量.）‎ ‎21.（1），设切点，‎ 则，又，‎ 即得：.‎ ‎（2）当时，（i）方程即为 令，则.‎ 当时，随变化情况如下表：‎ 极大值 ‎，‎ 当时，，‎ 的取值范围为.‎ ‎（ii）证明：令，则 ‎.‎ 令，则当时，，‎ 函数在上递增，，‎ 存在唯一的零点，且当时，，‎ 当时，，‎ 则当时，；当时，.‎ 在上递减，在上递增，从而.‎ 由得，两边取对数得，‎ ‎，从而证得.‎ ‎22.（1）由得：，‎ 直线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由得曲线的直角坐标方程为：，‎ 在直线上，设直线的参数方程为：‎ 代入得：，‎ ‎.‎ ‎23.（1）当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时，，原不等式即为，‎ 解得；‎ 综上，原不等式的解集为或.‎ ‎（2）.‎ 当时，等号成立.‎ 的最小值为，要使成立，故，‎ 解得的取值范围是：.‎