河北省“名校联盟”（五校联考）2018届高三上学期教学质量监测（一）数学（理）试题（含答案）.doc

河北省“名校联盟”2018届高三教学质量监测（一）数学（理）试卷 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟 卷Ⅰ(选择题 共60分)‎ 一． 选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）‎ ‎1、已知复数，则等于 ‎ ‎ ‎2、设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，,那么等于 ‎ ‎3、下列命题是真命题的是 ‎ ‎ 若，则 ‎ ‎ 若向量 若,则 ‎ ‎4、 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 ‎5、若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是 ‎ ‎ ‎6、设等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的 ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎7、已知函数，若有，则的取值范围是 ‎ [0，＋∞） （0，＋∞） [1，＋∞） （1，＋∞）‎ ‎8、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若 存在最大值，则的取值范围为 ‎ ‎ ‎9、定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 ‎ ‎ 　 ‎ ‎10、已知数列满足：,若且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ‎11、已知函数，存在的零点，满足，则的取值范围是 A． B．‎ C. D．‎ ‎12、已知定义在上的函数则下列结论中,错误的是 A． B．函数的值域为 ‎ C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则为等比数列 D．对任意的，不等式恒成立 卷Ⅱ(非选择题 共90分) ‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ 第14题图 ‎13、 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为 . ‎ 14、 若函数的图象 如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .‎ ‎15、已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________．‎ ‎16、已知定义在R上的函数满足：，‎ ‎，则方程在区间上的所有实根之和为 .‎ 三．解答题（共6小题，计70分）‎ ‎17、（本题12分）已知是直线与函数图像的两个相邻交点，且 ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎(Ⅱ)在锐角中，分别是角A，B，C的对边，若 的面积为，‎ 求的值. ‎ ‎18、（本题12分）已知数列分别是等差数列与等比数列，满足，公差，且，，.‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列对任意正整数均有成立，设的前项和为，求证：（是自然对数的底）.‎ ‎19、（本题12分） 如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，‎ ‎，四边形是矩形，平面平面，‎ ‎，和分别是和的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，‎ 使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ ‎21、（本题12分）已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.‎ 22、 ‎（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 已知曲线过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求的值．‎ 22、 ‎（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ 河北省“名校联盟”2018届高三教学质量监测（一）数学（理）试卷答案 BABDA DCDBC DC ‎ ‎17.解：（1）…3分 由函数的图象及，得到函数的周期，解得 ………5分 ‎（2）‎ 又是锐角三角形，…………8分 由 ……………………10分 由余弦定理得 ……… 12分 ‎18、（1）解：由题意可知，结合，解得，‎ 所以. ……… 5分 （2） 证明：因为，‎ 所以，‎ 两式作差可得，，所以 ………8分 当时，，所以………10分 于是 ‎…………12分 ‎19、（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点， ‎ 所以， 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ……………… 2分 ‎ 设，连接，‎ 因为为菱形，所以为中点 在中，因为，，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ……………… 4分 又因为，平面， ‎ 所以平面平面. ………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点，连接，‎ 因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，‎ 因为平面平面，所以平面， 所以平面，‎ 因为为菱形，所以，得两两垂直.‎ 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，‎ 如图建立空间直角坐标系. ‎ 因为底面是边长为的菱形，，，‎ 所以，，，，，‎ ‎. ………………………………………………7分 所以，. 设平面的法向量为，‎ 令，得. ……………9分 由平面，得平面的法向量为，‎ 则 .……………11分 所以二面角的大小为. ………………12分 ‎ 20、　(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，‎ 又|AB1|＝|AB2|，‎ 故∠B1AB2为直角，‎ 因此|OA|＝|OB2|，得b＝.‎ 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，‎ 故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.………3分 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.………5分 ‎(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，‎ 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，………8分 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16‎ ‎＝－－＋16＝－，‎ 由PB2⊥QB2，得·＝0，‎ 即16m2－64＝0，解得m＝±2.………10分 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. ……………12分 ‎21、. ---------2分 ‎（Ⅰ），解得. ---------3分 ‎（Ⅱ）. ---------4分 ‎①当时，，， ‎ 在区间上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是，‎ 单调递减区间是. ---------5分 ‎②当时，， ‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，‎ 单调递减区间是. --------6分 ‎③当时，， 故的单调递增区间是. ---------7分 ‎④当时，， ‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ---------8分 ‎（Ⅲ）由已知，在上有.---------9分 由已知，，由（Ⅱ）可知，‎ ‎①当时，在上单调递增，‎ 故，‎ 所以，，解得，‎ 故. ---------10分 ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故.‎ 由可知，，，‎ 所以，，， ---------11分 综上所述，. ---------12分 ‎ ……………5分 ‎ ……………10分 ‎23、解：(Ⅰ)原不等式等价于或 或 解得