2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（60分）
1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
5．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），
f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（ ）
A．sinx+cosx B．sinx﹣cosx C．﹣sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx
6．函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）
8．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
设
h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（ ）
A．h（x）关于（1，0）对称 B．h（x）关于（﹣1，0）对称
C．h（x）关于x=1对称 D．h（x）关于x=﹣1对称
9．函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
10．设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤
12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）
二、填空题（20分）
13．= ．
14．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
15．已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若
g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）= ．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在
x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）当时，判断f（x）的零点个数．
18．（12分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．
（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；
（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．
19．（12分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
20．已知直线l的方程为y=x﹣2，又直线l过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
21．（12分）设函数
（1）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a、b的值；
（2）当b=1时，若存在x1，，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（60分）
1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】1D：并集及其运算．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5J ：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
【考点】2J：命题的否定．
【专题】5L ：简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充要条件．
【专题】11 ：计算题；5L ：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；G9：任意角的三角函数的定义．
【专题】56 ：三角函数的求值．
【分析】根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．
【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα==．
再由 可得 x=﹣3，∴tanα==﹣，
故选D．
5．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（ ）
A．sinx+cosx B．sinx﹣cosx C．﹣sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx
【考点】63：导数的运算．
【专题】11 ：计算题；48 ：分析法；52 ：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，依次求出f2（x）、f3（x）、f4（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．
【解答】解：根据题意，f1（x）=sinx+cosx，
f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，
f3（x）=（cosx﹣sinx）′=﹣sinx﹣cosx，
f4（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出fn（x）=fn+4（x），
f2017（x）=f1（x）=sinx+cosx，
故选：A．
6．函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：∵函数y=，则该函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除A、C．
当x＞0时，函数为y=ln|x|，在（0，+∞）上单调递增，故排除D，
故选：B．
7．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】53 ：导数的综合应用．
【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．
【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，
所以f′（x）=3x2﹣3．
令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；
因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），
所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，
且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
联立解得：﹣2≤a＜1．
故选：C．
8．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（ ）
A．h（x）关于（1，0）对称 B．h（x）关于（﹣1，0）对称
C．h（x）关于x=1对称 D．h（x）关于x=﹣1对称
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【专题】51 ：函数的性质及应用．
【分析】运用奇偶性的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），将x换成﹣x，结合对称性结论，即可判断．
【解答】解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），
得h（x+1）=|f（x）|+g（x），
即有h（﹣x+1）=|f（﹣x）|+g（﹣x）
=|f（x）|+g（x）=h（x+1），
即为h（1﹣x）=h（1+x），
则h（x）的图象关于直线x=1对称．
故选C．
9．函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x=1是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：2+a+a=0．
解得：a=﹣1；
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1=（x2+x﹣2）ex﹣1，
函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=﹣2时，函数取得极大值：f（﹣2）=5e﹣3
故选：C．
10．设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【考点】4H：对数的运算性质．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4H ：作差法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，x=，y=，z=，利用作差法能求出结果．
【解答】解：∵x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，
∴令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，
x=，y=，z=，
∴2x﹣3y=﹣=＞0，∴2x＞3y；
同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤
【考点】3W：二次函数的性质．
【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．
【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，
设t=，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴≤≤1，即≤≤3，
∴≤t≤3，
则+=t+，
∵t+≥2=2，
当且仅当t=，即t=时取等号，
故选：A．
12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用．
【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．
【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=，
设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==，
又t=as2，n=lnm，
即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0
设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0，
所以由f'（s）＞0得到
当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，
当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．
即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，
由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，
所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞．
故选D．
二、填空题（20分）
13．= ．
【考点】67：定积分．
【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4G ：演绎法；52 ：导数的概念及应用．
【分析】由题意结合定积分的几何意义和定积分的性质即可求得最终结果．
【解答】解：函数f（x）=sin3x 是奇函数，结合奇函数的性质可得：，
函数 表示单位圆的上半部分，则：，
结合定积分的运算法则可得：．
故答案为：．
14．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 [﹣3，﹣2] ．
【考点】3F：函数单调性的性质．
【专题】51 ：函数的性质及应用．
【分析】要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，由此可得不等式组，解出即可．
【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]
上递增，在（1，+∞）上递增，
且，
所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，
故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．
故答案为：[﹣3，﹣2]．
15．已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）= 2 ．
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【专题】51 ：函数的性质及应用．
【分析】根据函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，以及g（x）=1﹣f（x+1）的关系建立条件关系即可求解．
【解答】解：设y=F（x）=f（x﹣1）+x2，
∵y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，
∴F（0）=f（﹣1）+0=0，
∴f（﹣1）=0．
F（1）=f（0）+1=﹣1+1=0，
又F（﹣1）=f（﹣2）+1=﹣F（1）=0，
∴f（﹣2）=﹣1，
∵g（x）=1﹣f（x+1），
∴当x=﹣3时，g（﹣3）=1﹣f（﹣3+1）=1﹣f（﹣2）=1﹣（﹣1）=2．
故答案为：2．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为 [﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2} ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xex+ex﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．
【解答】[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}
解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，
而y=f（x）在x∈[﹣4，4]上恰有5个零点，
故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，
x∈（﹣4，0）时f（x）=log2（xex+ex﹣m+1），
故xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，
令g（x）=xex+ex﹣m，
g′（x）=ex+xex+ex=ex（x+2），
故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；
而g（﹣4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，
而g（﹣4）＜g（0），
故﹣2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，
故﹣3e﹣4≤m＜1或m=﹣e﹣2
故答案为：[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}
三、解答题（70分）
17．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）当时，判断f（x）的零点个数．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．
【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而判断函数的零点个数即可．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，
f′（x）=2e2x﹣ex﹣1=（2ex+1）（ex﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）a=时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，
f′（x）=e2x﹣ex﹣1=（2e2x+1）（ex﹣2），
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
故f（x）min=f（ln2）=﹣1﹣ln2＜0，
故f（x）有2个零点．
18．（12
分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．
（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；
（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；
（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，
则“男生甲闯关成功”为事件，
∴P（A）=1﹣P（）
=1﹣×××
=1﹣
=；
（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，
则P（B）=×××=，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；
且P（X=0）=×=，
P（X=1）=•••+•••=，
P（X=3）=•••+•••=，
P（X=4）=×=，
P（X=2）=1﹣=；
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
∴数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．
19．（12分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【专题】12 ：应用题．
【分析】（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入﹣销售成本，建立函数关系即可；
（2）利用配方法，求得二次函数f（x）=﹣+0.0475x﹣0.5在x=475时取得最大值，即获得的利润最大．
【解答】解：（1）由题意可知，公司生产并销售x件产品的销售收入为（0.05x﹣）万元，
投入固定成本0.5万元，另需增加投入万元．
∴f（x）=0.05x﹣﹣（0.5+）=﹣+0.0475x﹣0.5，（0＜x≤500）；
（2）由f（x）=﹣+0.0475x﹣0.5=．
∴当x=475时，f（x）max=10.78125．
∴当年产量为475（件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．
20．（12分）已知直线l的方程为y=x﹣2，又直线l过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的
右焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KG：直线与圆锥曲线的关系．
【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）判断椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，求出椭圆的焦点为（2，0）结合椭圆的离心率，求出a、b，即可求解椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆分得到方程组，利用韦达定理与距离公式求出三角形的面积表达式，构造函数通过好的导数求解面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∵直线l与x轴的交点为（2，0），∴椭圆的焦点为（2，0），∴c=2，…（1分）
又∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2…（3分）
∴椭圆方程为．…（4分）
（Ⅱ） 直线AB的斜率显然存在，设直线AB方程为y=kx+1
设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kx﹣3=0，
显然△＞0，…（6分）点D（0，1），|OD|=1，…（8分）
=
=…（10分）
令，则t∈（0，1]，
，g'（x）=0，即k=0时，SAOB的最大值为．…（12分）
21．（12分）设函数
（1）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a、b的值；
（2）当b=1时，若存在x1，，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．
【分析】（1）﹣a（x＞0，且x≠1），可得f′（e2）=﹣a=﹣，f（e2）==﹣，联立解得a，b．
（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，
可得f′（x）+a==﹣（﹣）2+，[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．
存在 x1，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f′（x）max+a=，对a分类讨论解出即可．
【解答】解：（1）﹣a（x＞0，且x≠1），
∵函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，
∴f′（e2）=﹣a=﹣，f（e2）==﹣，
联立解得a=b=1．
（2）当b=1时，f（x）=﹣ax
，f′（x）=﹣a，
∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，∈[，1]．
∴f′（x）+a==﹣（﹣）2+，
∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．
存在 x1，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立
⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f′（x）max+a=，
①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，
则f（x）min=，解得a≥．
②当a时，由f′（x）=﹣（）2+﹣a在[e，e2]上的值域为[﹣a，]．
（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，
因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，
∴f（x）min=f（e）=e﹣ae，不合题意，舍去．
（ii）当﹣a＜0时，即0时，由f′（x）的单调性和值域可知：
存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，
且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）min=f（x0）=，x0∈（e，e2）
∴，与0矛盾．
综上可得：a的最小值为：．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【专题】11 ：计算题；36 ：整体思想；4G ：演绎法；5S ：坐标系和参数方程．
【分析】（1）将参数方程化为直角坐标方程，然后联立直线方程与椭圆方程即可求得交点坐标；
（2）求得距离公式的三角函数表达式，结合三角函数的性质即可求得最终结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为化为标准方程是：；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 可得：
或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和．
（2）若a=8，则l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣12=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
，
当sin（θ+φ）=﹣1 时，C上的点到l的距离有最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x）max=，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．
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