徐州三中高三年级阶段测试
数学理科试题
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.若（），则的值为 ．
2.集合，，则 ．
3.函数的最小正周期为 ．
4.函数的单调增区间是 ．
5.已知向量，，且，则 ．
6.设幂函数的图像经过点，则 ．
7.已知函数，则 ．
8.设等比数列满足，，则的最大值为 ．
9.已知函数的图像上一个最高点的坐标为，由这个最高点到其相邻的最低点间图像与轴交于点，则此函数的解析式为 ．
10.设是数列的前项和，且，，则 ．
11.设为锐角，若，则 ．
12.如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则 ．
13.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
14.已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在中，分别为内角的对边，且满足，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
16.已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17. 在平面直角坐标系中，设向量，，其中为的两个内角.
（1）若，求证：为直角；
（2）若，求证：为锐角.
18. 为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，且，设.
（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；
（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.
19. 已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若在恒成立，求的取值范围.
20. 设数列的前项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
试卷答案
一、填空题
1.7 2. 3. 4. 5. 8 6.
7. 2 8. 64 9. 10. 11.
12. 13. 14.
二、解答题
15.解：（1）∵，
∴由正弦定理化简得：，
∵，∴，
∵，
∴为锐角，则.
（2）∵，，，
∴由余弦定理得：，即，
整理得：，
计算得出：（舍去）或，
则.
16.（1）因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）
因为，
所以，
所以.
17. （1），，
若，则，即，
即有，即，
则，即有为直角.
（2）若，则，
即，
即，
即，
由，，则，
由，，则，
则有为锐角.
18.（1）连接，根据对称性可得，且，
∴，，，
∴，其中.
（2）记，，
，
当时，，当时，，
∴，即时，.
19.（1）因为，所以.
因为，所以，
所以切线方程为.
（2）因为，
当时，，所以，无单调减区间，
当，即时，列表如下：
所以，得单调减区间是，
当，即时，，列表如下：
所以，得单调减区间是，
综上，当时，无单调减区间；
当时，的单调减区间是；
当时，的单调减区间是.
（3）
当时，由（2）可得，为上单调增函数，
所以在区间上的最大值，符合题意.
当时，由（2）可得，要使在区间上恒成立，
只需，，
解得.
当时，可得，，
设，则，
列表如下：
所以，可得恒成立，所以.
当时，可得，无解，
综上，的取值范围是.
20.（1）∵，，
∴当时，，计算得出，
当时，，化简为：，
∴数列是等比数列，首项为2，公比为2，
∴.
（2）
∴数列的前项和为
∴.
（3）假设数列中存在三项成等差数列，由，
分别设为第项，，则，
化为：，
显然左边大于右边，因此不成立，
故数列中不存在三项成等差数列，因此假设不成立.
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