广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试（10月）数学（理）（含答案）.doc

汕头市金山中学2017—2018学年度第一学期高三期中考试 理科数学 命题人： 张海兵 一、选择题（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1、已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知函数，则的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、已知当≤时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、已知：，：；则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5、已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、函数的大致图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7、已知函数，若存在实数，使得对任意的实数，都有 ‎≤≤恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、已知定义在R上的函数满足，且对任意的实数，都有 恒成立，‎ 则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、在中，，BC边上的高等于,则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知函数，将的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位，得到函数的图像，则的一个单调递增 区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知函数，且函数恰有4个零点，下列选项中哪个集合内的值均符合题意（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13、若，则的值是__________．‎ ‎14、已知点，，P，且，则的取值范围是 .‎ ‎15、定义在上的奇函数满足，当时，则在区间上的零点个数是 .‎ ‎16、已知函数，如果存在唯一的，使得成立，则实数a的取值 范围是__________．‎ 三、解答题 ‎17、(本题满分12分)在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，点在边上且，，求.‎ ‎18、(本题满分12分) 设函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎19、(本题满分12分)数列满足，且、、、成等比数列. 设.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列的通项公式）‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎20、(本题满分12分) 在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足：，.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线 的弦、，设、 的中点分别为．‎ 问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，‎ 如果不是，说明理由．‎ ‎21、(本题满分12分)已知函数，. ‎ ‎（1）求证: ，；‎ ‎（2）若方程有两个根，设两根分别为,求证: .‎ ‎22、(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线： （为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线交曲线于， 两点，交曲线于， 两点，求线段的长．‎ ‎23、(本题满分10分)已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记的最小值为，若正实数，，满足，‎ 求证：.‎ 期中考试理科数学参考答案 ‎1-12：DBBAB BBDBC DA ‎13、； 14、； 15、； 16、‎ ‎17、解：（Ⅰ）由及正弦定理，‎ 可得，‎ 即，由可得，‎ 所以，‎ 因为，所以，因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以的面积，‎ 把，带入得，‎ 由得，所以，解得.‎ ‎18、解：（1）由已知，当时， ，∴，‎ ‎∴在上单调递增，且，（2分）‎ ‎，随变化如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴有极小值，没有极大值．（5分）‎ ‎（2）（方法一）由题可得恒成立，‎ 当时，上式恒成立；‎ 当时，，又，故（8分）‎ 令，则， 令，‎ ‎∴当时， ，时， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得： ，∴的取值范围是．（12分）‎ ‎（方法二）由题可得， 设，则，‎ ‎∵，∴在上单调递增，， ，‎ ‎∴使得，则，（8分）‎ 由知，且时， ，时， ，‎ ‎∴，∴，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围是．（12分）‎ ‎（方法三）由题可得恒成立，‎ 令，则，（8分）‎ ‎∴时， ，时， ，∴，‎ ‎∴，解得： ，∴的取值范围是．（12分）‎ ‎19、解：（Ⅰ）由及， ， ， 成等比数列得，‎ 即，解得， ，所以，‎ ‎ ，‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以 .‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎.‎ ‎ .‎ ‎20、解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，‎ 且⊥，∴是线段的垂直平分线．‎ ‎∴是点到直线的距离．‎ ‎∵点在线段的垂直平分线，∴．…………2分 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ 其方程为：．…………………………………….4分 ‎(Ⅱ) 设，，‎ 由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，…………….5分 设直线AB的方程为 ‎ ‎　　　　　　　　　则 ‎（1）—（2）得，即，……………………………………7分 代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．…………… 8分 同理可得：的坐标为．………………………9分 直线的斜率为，方程为 ‎，整理得，………………11分 显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点．………………12‎ ‎21、解：(1) ‎ ‎.‎ 下面证明：对，令，‎ 则，所以在上单调递增，所以，‎ 即，即证得：.‎ ‎(2)由，得，于是有，，‎ 两式相加得， ① ‎ 两式相减得，即可得，② ‎ 将②代入①可得，‎ 即，‎ 不妨设，则，‎ 由（1）可知，‎ 又因为，‎ ‎ ，即.‎ ‎22、解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，‎ 曲线的极坐标方程为，即．‎ 因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得，‎ 由得或. 则，‎ 由得或则．　‎ 故.‎ ‎23、解：（Ⅰ） ‎ 当时，由，解得；‎ 当时，因为，所以；‎ 当时，由，解得 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的最小值为6，即.（或者 ），所以，‎ 由柯西不等式可得 ‎ 因此 .‎