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南昌二中2017～2018学年度上学期第三次考试
高三数学（理）试卷
一、选择题（每题五分，共60分）
1．设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3. 给定函数①，②，③,④,其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
5. 定义在上的奇函数满足，且当时，
，则（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
6. 若、 ，则“”是“”成立的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
7. 由曲线，直线及轴所围成图形的面积是（ ）
A． B． 4 C． D．6
8. 函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga=
A．1 B．2 C．3 D．4
9. 已知函数是奇函数，则＞﹣1的解集为（ ）
A.（﹣2，0]∪（2，+∞） B.（﹣2，+∞）
C.（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D.（﹣∞，2）
10. 设函数f（x）=x3+x，x∈R．若当0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（，1） D．（，1]
11. 已知函数f（x）=sin（ωx+），ω＞0，f（）=f（），f（x）在区间（，）有最小值无最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12. 设函数是连续函数，且在x=1处存在导数，若函数及其导函数满足
，则函数
A. 既有极大值又有极小值 B. 有极大值无极小值
C. 有极小值无极大值 D. 既无极大值有无极小值
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_____
14. 己知命题“x∈R，使2x2+（a﹣1）x+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____
15. 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是
16. 对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为______.
三、解答题（共70分）
17.（本大题10分）
已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求△的面积．
18. （本大题12分）
已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
19.（本大题12分）
已知函数f（x）=（a≠0）．
（I）试讨论y=f（x）的极值；
（II）若a＞0，设g（x）=x2emx，且任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）
≥﹣1恒成立，求m的取值范围．
20.（本大题12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．
（I）求证：PD⊥平面ABE；
（II）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为
21. （本小题12分）
已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形的面积为，圆C方程为.
（I）求椭圆及圆C的方程；
（II）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程.
22．（本大题12分）
已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1,x2（x1＜x2）,
求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
南昌二中2017～2018学年度上学期第三次考试
高三数学（理）试卷参考答案
BDBBD DCCDA AD
5.【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，故.
6.【解析】本题考查充分条件和必要条件的判定；因为，所以“”不是“”成立的充分条件，若，则不存在，所以“若,，则”为真命题，即“”不是“”成立的必要条件，所以“”是“”成立的既非充分也非必要条件；故选D.
7.【解析】
8.【解析】当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，
即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则loga+loga=loga（•）=log28=3，
9.【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0， 即a﹣log22=0，∴a=1．
∴当x≥0时，f（x）=1﹣log2（x+2），∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
令f（x）=﹣1得1﹣log2（x+2）=﹣1，解得x=2．
∴当x≥0时，f（x）＞﹣1的解集为[0，2）．
∵当x≥0时，f（x）≤f（0）=0，f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＞0，
∴f（x）＞﹣1的解集为（﹣∞，0）∪[0，2）=（﹣∞，2）．
10.【解析】∵f（x）=x3+x，
∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；
又f′（x）=3x2+1＞0，
∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，
∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1
由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．
11.【解析】由f（）=f（），可得f（x）的图象关于直线x== 对称，故有ω•+=kπ+，k∈z，∴ω=4k+．
f（x）在区间（，）有最小值无最大值，故当x=时，f（x）取得最小值，
故有有ω•+=2kπ+，k∈z，∴ω=8k+．
因为恰好为区间（，）的中点，故﹣≤=，∴0＜ω≤12，
故只有当k=0时，ω=满足条件，
14. 【解析】：∵命题“x∈R，使2x2+（a﹣1）x+≤0”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使2x2+（a﹣1）x+＞0”是真命题，
即判别式△=(a﹣1)2﹣4×2×＜0，即△=(a﹣1)2＜4，则﹣2＜a﹣1＜2，即﹣1＜a＜3，
15.【解析】当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：
x
（﹣∞，0）
0
（0，）
（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：
x
（﹣∞，）
（，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a（）3﹣3（）2+1＞0，
化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．
16. 【解析】
17.解：（Ⅰ）由已知， 整理得．
因为，所以. 故，解得.
由，且，得.
由，即， 解得.
（Ⅱ）因为，又，
所以，解得.
由此得，故△为直角三角形，，．
其面积．
18. 解：（Ⅰ） ==，由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．
∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，
∴．
∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．
19.解：（1）f′（x）=﹣，
a＞0时，当x=﹣1时，f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣，
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=，
a＜0时，当x=﹣1时，f（x）的极大值为f（﹣1）=﹣，
当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=；
（2）方法一：由题意知，x1，x2∈[0，2]，f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），
x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，
x∈[0，2]，x2emx≤1，m≤﹣，m≤{﹣}min，m≤﹣ln2，方法二：分类讨论
x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，∴x∈[0，2]，gmax（x）≤1，g（x）=x2emx，g′（x）=emxx（mx+2），
1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
gmax（x）=g（2）=4•e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍），
2）当﹣1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2，
∴﹣1＜m≤﹣ln2，
3）当m≤﹣1时，g（x）在[0，﹣]上单调递增，在[﹣，2]上单调递减，
gmax（x）=g（﹣）=≤1，解得：m≤﹣，∴m≤﹣1，综合得：m≤﹣ln2．
20.【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．
（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）
设平面PFM的法向量，，即，
设平面BFM的法向量，，
即， ，解得．
21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，由椭圆的离心率为可得，即，所以
以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，即，
所以椭圆的方程，圆的方程为
（2）①当直线的斜率不存时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意
②当直线的斜率存在时，设直线方程，
由可得，
由条件可得，即
设，，则，
而圆心C的坐标为（2，1）则，
所以，
即
所以解得或
或.
22．解：（1）∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），
∴f（x）的定义域为（0，+∞），=
令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，对称轴x=，g（0）=2，
当△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…
当△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，
①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…
②若a＞4，令f′（x）=0，得，，
当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…
综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）
（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2=＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，
又∵，a=2（），，e+＜＜3+，
又0＜x1＜1，解得．…
∴f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）
=（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）
=（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln
=﹣（）•（x1+）+4lnx1
=，…
令h（x）=，（），
则＜0恒成立，
∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），
即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，
故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．
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