数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知数列满足，，且．若，则正整数（ ）
A. B. C. D.
4. 设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（ ）
开始
结束
输出
是
否
A. B. C. D.
5． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,
,，，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
6.公元263年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的
边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了
割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的
近似值3.14，这就是著名的徽率．上图是某学生根据刘徽的割圆术
设计的程序框图，则输出的值为
（参考数据：，）
A. 48 B. 36 C.24 D.12
7．设是由轴，直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
8．若把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象重合，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10．对于平面向量，给出下列四个命题：
命题：若，则与的夹角为锐角；
命题：“”是“∥”的充要条件；
命题：当为非零向量时，“”是“”的必要不充分条件；
命题：若，则.
其中的真命题是 （ ）
A． B. C. D.
11．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）
A． B． C． D．
12.已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．已知函数，则______.
14.的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为______.
15．已知在直角梯形中，,,将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．
16．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有，则；的因数有，则，记数列的前项和为，则______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分12分）
如图，正三角形的边长为，分别在三边上，且为的中点．，．
（Ⅰ）当时，求角的大小；
（Ⅱ）求的面积的最小值以及使得取最小值时的值．
18．（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量
至件
至件
至件
至件
件及以上
顾客数（人）
结算时间（分钟/人）
已知这位顾客中一次购物量超过件的顾客占％．
（Ⅰ）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．（注：将频率视为概率）
A
B
C
D
M
P
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是
的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直,
为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）证明：当时，≥；
（Ⅱ）设当≥时，≤成立，求实数的取值范围.
22. （本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围．
2016届高三
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
D
B
A
D
A
D
B
D
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13． ； 14． ； 15． ； 16． ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答须写在答题卡上的指定区域内．）
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）在中，由正弦定理得
，
在中，由正弦定理得
．
由得，
整理得，所以． …… 6分
（Ⅱ）
．
∴当时，取得最小值为． …… 12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知得 ，，所以．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为的简单随机样本，将频率视为概率得
, , ,
, ，
所以的分布列为
的数学期望为
． …… 6分
（Ⅱ）记为事件“该顾客结算前的等候时间不超过分钟”，
为该顾客前面第位顾客的结算时间，则
．
故该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率为 ．………12分
A
B
C
D
M
P
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）法一：作于,连接
由侧面与底面垂直，则面
所以，又由,,
则,即
所以平面,所以
取的中点,连接由为的中点，
则四边形为平行四边形，
所以∥,又在中,,
为中点，所以,
所以,有由 所以面 …………6分
法二：作于,连接
由侧面与底面垂直，则面
所以且, 又由,,
则,即
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由已知
所以，
所以
又由，所以面 ………………6分
（Ⅱ）设面的法向量为
由
，
由（Ⅰ）知面，取面的法向量为
所以，
设二面角大小为，
由为钝角得 ……………………12分
20．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由，解得，
故椭圆的方程为． ……………………5分
（Ⅱ）设点，直线的斜率分别为，则．
又：，令得，
：，令得，
则，过三点的圆的直径为,
设圆过定点，则
，解得或（舍）．
故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点．
……………………12分
21. （本小题满分12分）
22. （本小题满分10分）
（Ⅰ）不等式可化为
或或，
解得或或，
故不等式的解集为．
（Ⅱ）（当或时取等号），
不等式的解集为空集等价于，解得．
故实数的取值范围是．
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