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洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试
数学试卷（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
2. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
3.设，是 “”是“为等比数列”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知函数，若，则取值的集合为（ ）
A． B． C. D．
5.设是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，，则 D．若，则
6. 设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为（ ）
A． B． C. D．
7. 等比数列中，，函数，则（ ）
A． B． C. D．
8. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A． B．
C. D．
9.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）
A．60 B．48 C. 24 D．20
10.已知函数，则下列说法不正确的为（ ）
A．函数的最小正周期为
B．在单调递减
C. 的图象关于直线对称
D．将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象
11.在平面直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，设，则的最大值为 （ ）
A．-1 B．1 C. 2 D．3
12. 已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知，若向量与共线，则 ．
14.若函数在定义域上为奇函数，则实数 ．
15.已知，数列满足，则 ．
16.已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）当时，求的最值．
18.已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．
19.在中，内角的对边分别为，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
20. 已知函数．
（1）若函数在和处取得极值，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．
21. 如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，是边长为2的等边三角形，是的中点，是棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
22. 已知函数为偶函数，当时，，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；；
（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值．
试卷答案
一、选择题
1-5:BCADC 6-10: ADDCD 11、12：BD
二、填空题
13. 3 14. 15. 1009 16.
三、解答题
17.解：（1）
．
由，得
，
∴，
所以的单调递减区间为．
（2）∵， ∴，
当取到最大值1，此时；
当取得最小值，此时．
18.（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，
即，
由，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以．
解，得，
所以的最大值为13．
19.（1）由，得，
即，
由正弦定理，得，
所以，
，
，
因为，所以，
所以．
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，得，
又，
所以，解得，
所以的面积．
20.（1）由题可得 ，，
∵函数在和处取得极值，
∴是方程的两根，
∴， ∴；
（2）由（1）知，，
当变化时，随的变化如下表：
-2
-1
2
3
+
0
-
0
+
增
减
增
∴当时，的最小值为，
要使恒成立，只要即可，
∴，
∴的取值范围为．
21.（1）
证明：∵底面四边形是直角梯形，是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形， ∴，
∵， ∴，
又是的中点，故，
又，
∴，由勾股定理可知，
又，
∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（2）解：连接， ∵，是的中点， ∴，
∵平面平面，且平面平面，
∴平面，又是棱的中点，
故，
而，
∴，
∴．
22.（1）时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
又曲线在点处的切线方程为，
所以．
（2）因为为偶函数，且当时，，
那么，
由得，
两边取以为底的对数得，
所以在上恒成立，
设，
则（因为）
所以，
设，易知在上单调递减，
所以，
故，
若实数存在，必有，又，
所以满足要求，故所求的最小正整数为2．
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