高三数学10月考 2017年10月07日
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1. 已知集合，且，则实数的取值范围是 ▲ ．
2. 设，其中是虚数单位，则 ▲ ．
3. 已知为实数，直线，，则“”是
“”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不
必要”中选择一个填空）．
4. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为___▲__．
5. 若曲线在点处的切线平行于轴,则___ ▲___.
6. 方程有 ▲ 个不同的实数根．
7. 设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，
则点到轴的距离为 ▲ ．
8. 在三角形ABC中，的值为 ▲ ．
9. 已知函数的值域为，则的取值范围是_ ▲___．
10. 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上．直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ▲ ．
11. 已知函数在区间上为增函数，且图象关于点对称，则的取值集合为 ▲ ．
12. 在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上，若则的值是 ▲ .
13. 已知定义在上的函数，若函数，在处取得最小值，则负数的取值范围为 ▲ ．
14. 在直角坐标中，圆：，圆：，点，动点、
分别在圆和圆上，满足，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15.（本小题满分14分）
已知函数，
（1）求的值域；
（2）若的面积为，角所对的边为，且，，求的周长．
16.（本小题满分14分）
二次函数图像与轴交于，两点，交直线于，两点，经过三点，，作圆．
（1）求证：当变化时，圆的圆心在一条定直线上；
（2）求证：圆经过除原点外的一个定点．
17.（本小题满分14分）
已知，，且．
（1）求的最值；
（2）若，求实数的取值范围．
18. （本小题满分16分）
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f (x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f (t))．
（1）将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；
（2）若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．
19.（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率为，右焦点，左、右顶点分别
为，，直线过点且与椭圆交于、两点（点在轴上方），直线直线，的斜率分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
A
B
O
F
P
Q
x
y
20.（本小题满分16分）
设函数有且仅有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．
高三数学10月考附加题
21. 已知矩阵，的逆矩阵，求的特征值．
22. 在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，求中点的直角坐标．
23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
24. 已知，定义．
（1）记，求的值；
（2）记，求所有可能值的集合．
高三10月考参考答案
1. 2. 3. 充分不必要 4. 5. -1 6.2 7. 8.
9. 10. 11. {，，1} 12. 13. 14.
14.【解析】即为线段的长．设，则．
又的中点，即，
则有，
由条件，，得，
所以，即，由于，，所以．
15. 解：（1）
．
，，故．
（2）由已知，．由，得，所以．
由已知及余弦定理得,．故,从而．
所以的周长为．
16. 解：（I）在方程y=x2+bx中．令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，
则⇒，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x0，y0），
则x0=﹣，y0=﹣，∴y0=x0+1，
这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，
它对任意b≠0恒成立，∴⇒或
故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．
17. [解答] (1)∵a·b＝cos2θ，
|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2＋2cos2θ＝4cos2θ.
∴＝＝cosθ－.
令t＝cosθ，则≤t≤1，′＝1＋>0.
∴t－在t∈上为增函数．∴－≤t－≤，
即所求式子的最大值为，最小值为－.
(2)由题设可得|ka＋b|2＝3|a－kb|2，
又|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，
∴原式化简得cos2θ＝.
由0≤θ≤，得－≤cos2θ≤1，∴－≤≤1，
解得k∈[2－，2＋]∪{－1}．
18.【解析】(1)y′＝－2ax，∴切线斜率是－2at，
∴切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)．
令y＝0，得x＝，∴M，
令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，∴△OMN的面积S(t)＝.
(2)S′(t)＝，
由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.
当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；当3at2－1
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