2018届南昌市高三摸底调研考试
理 科 数 学
本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟.
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．
2．设集合，，则
A． B． C． D．
3．已知，，则
A． B．
C． D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的为
A．1 B．2
C．3 D．4
5．设变量满足约束条件， 则的最大值为
A． B． C． D．
6．已知,为两个非零向量，则“与共线”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A. B. C. D.
8．函数的图像可以由函数的图像经过
A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到
9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在
前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且，则点到底面的距离为
A． B． C． D．
11. 已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上一点，
且满足，若是线段的中点，则的值为
A． B． C. D．
12．已知双曲线 的左右焦点分别为，为双曲线上第二象
限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组
号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机
抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 .
14．二项式的展开式中的系数为 .
15．已知的面积为，角所对的边长分别为，，则的最小值
为 .
16．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范
围为 ．
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．(12分)
已知数列的前项和，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．(12分)
微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
步数
性别
02000
20015000
50018000
800110000
＞10000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有人，求的分布列及数学期望．
附：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．(12分)
如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.
（1）求证：平面∥平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．(12分)
已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
21．(12分)
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求实数的值.
2017-2018学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】A2：复数的基本概念．
【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）z=2，
∴z===1﹣i．
则复数z的虚部为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．设集合A={x|﹣2≤x≤1}，，则A∩B=（ ）
A．[﹣2，1） B．（﹣1，1] C．[﹣2，﹣1） D．[﹣1，1）
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B可得：x2﹣2x﹣3＞0，即（x﹣3）（x+1）＞0，
解得x＜﹣1或x＞3，即B=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∵集合A={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]
∴A∩B=[﹣2，﹣1）
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．已知，，则tanθ=（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．
【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值．
【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，
则tanθ==﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
4．执行如图所示的程序框图，输出的n为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】EF：程序框图．
【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，f（x）=1，满足f（x）=f（﹣x），不满足f（x）=0有解，故n=2；
当n=2时，f（x）=2x，不满足f（x）=f（﹣x），故n=3；
当n=3时，f（x）=3x2，满足f（x）=f（﹣x），满足f（x）=0有解，
故输出的n为3，
故选：C
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5．设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5T ：不等式．
【分析】作出约束条件对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：作出约束条件，
对应的平面区域如图：
由z=3x﹣2y得y=x﹣，
平移直线y=x，经过点A时，直线y=x﹣的截距最小，此时z最大．
由，解得A（1，0），
此时zmax=3×1﹣0=3，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
6．已知，为两个非零向量，则“与共线”是“•=|•|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】4O：定义法；5H ：空间向量及应用；5L ：简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的性质进行判断即可．
【解答】解：当与夹角为180°时，满足向量共线，
但•=﹣||•||，|•|=||•|，|此时•=|•|不成立，即充分性不成立，
若•=|•|，则•=||•||cos＜，＞=|||||cos＜，＞|，
则|cos＜，＞|=cos＜，＞，
则cos＜，＞≥0，即0°≤＜，＞≤90°，此时与不一定共线，即必要性不成立，
则“与共线”是“•=|•|”的既不充分也不必要条件．
故选：D
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11 ：计算题；5F ：空间位置关系与距离；5Q ：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，画出直观图，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：
故其体积V==，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关键．
8．函数的图象可以由函数的图象经过（ ）
A．向右平移个单位长度得到
B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到
D．向左平移个单位长度得到
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数=sin（+）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin（﹣+）=sin（+）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；35 ：转化思想；5O ：排列组合．
【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：
①、甲排在第一位，
节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，
则此时有4×2×6=48种编排方法；
②、甲排在第二位，
节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，
则此时有3×2×6=36种编排方法；
③、甲排在第三位，
节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，
则此时有3×2×6=36种编排方法；
则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；
故选：A．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．
10．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足，PA为球O的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】推导出球心O是PA的中点，球半径R=OC=，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，则D是AB中点，且AD=BD=CD=，从而求出OD，点P到底面ABC的距离为d=2OD．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，
∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=，
过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，
∵△ABC满足，
∴D是AB中点，且AD=BD=CD=，
∴OD==，
∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2．
故选：B．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查球、三棱锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
11．已知动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．﹣3
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5A ：平面向量及应用．
【分析】由题意设动直线l为y=（x+2），表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出
【解答】解：动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，
则△OAB为等边三角形，
于是可设动直线l为y=（x+2），
根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，），
∵M是线段AB的中点，
∴M（﹣，）
设C（x，y），
∵，
∴（﹣2﹣x，﹣y）=（﹣1﹣x，﹣y），
∴，
解得，
∴C（﹣，），
∴=（﹣，）•（﹣，）=+=3，
故选：A．
【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键构造直线，考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于中档题
12．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设F2（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为P（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：设F2（c，0），渐近线方程为y=x，
对称点为P（m，n），
即有=﹣，
且•n=•，
解得m=，n=，
将P（，），即（，），
代入双曲线的方程可得﹣=1，
化简可得﹣4=1，即有e2=5，
解得e=．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 45 ．
【考点】B4：系统抽样方法．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．
【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码．
【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，
依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．
分组间隔为，
∵在第一组中随机抽取的号码为5，
∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8=45．
故答案为：45．
【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．
14．的展开式中含x3的系数为 ﹣10 ．（用数字填写答案）
【考点】DB：二项式系数的性质．
【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数．
【解答】解：展开式的通项公式为
，
令5﹣2r=3，解得r=1，
所以展开式中含x3的系数为
．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题．
15．已知△ABC的面积为，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，则a的最小值为 2 ．
【考点】HP：正弦定理．
【专题】11 ：计算题；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．
【解答】解：由三角形面积公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，
则a≥2，即a的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
16．已知函数，若不等式|f（x）|﹣mx+2≥0恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；4G ：演绎法；5T ：不等式．
【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果．
【解答】解：不等式即：mx≤|f（x）|+2恒成立，
绘制函数|f（x）|+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f（x）|+2的图象下方，
考查函数：y=x2﹣3x+2 经过坐标原点的切线，
易求得切线的斜率为，
据此可得：实数m的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知数列{an}的前n项和，记bn=anSn（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵，∴当n=1时，；
当n≥2时，，
又∵，∴．…（6分）
（2）由（1）知，，
∴
=．…（12分）
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：
步数
性别
0～2000
2001～5000
5001～8000
8001～10000
＞10000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E（X）．
附：K2=
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
K
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．
【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论；
（2）根据题意，抽取的女性人数X服从超几何分布，
计算X的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（1）根据题意完成2×2列联表如下：
积极型
懈怠型
总计
男
13
7
20
女
8
12
20
总计
21
19
40
由表中数据计算，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；…（6分）
（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人，
现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2；
且，
，
，…（9分）
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
P
数学期望为．
【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问
题，是中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求二面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值．
【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；LU：平面与平面平行的判定；MT：二面角的平面角及求法．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）证明MN∥PA．推出MN∥平面PAB．证明CN∥AB．即可证明CN∥平面PAB．然后证明平面CMN∥平面PAB．
（2）以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，…（12分）
则MN∥PA．又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，
∴∠ACN=60°．
又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．…（4分）
又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ACD，
又∵DC⊥AC，平面PAC∩平面ACD=AC，∴DC⊥平面PAC，
如图，以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，，
∴，
设=（x，y，z）是平面PCN的法向量，则，
即，可取，
又平面PAC的法向量为，
∴===，
由图可知，二面角N﹣PC﹣A的平面角为锐角，
∴二面角N﹣PC﹣A的平面角的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力，以及空间想象能力．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求原点O到直线l的距离的取值范围．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【专题】15 ：综合题；34 ：方程思想；4P：设而不求法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由已知求得b，再由椭圆离心率及隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得m2＜4k2+1，再由，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，则取值范围可求．
【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知，2b=2，∴b=1，
又a2=1+c2，解得a=2，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
依题意，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①
，
，
若，则，即4y1y2=5x1x2，
∴，
∴，
即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）=0，化简得，②
由①②得，
∵原点O到直线l的距离，
∴，
又∵，
∴，
∴原点O到直线l的距离的取值范围是．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣2mx2﹣n（m，n∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有最大值﹣ln2，求m+n的最小值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；53 ：导数的综合应用；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．
（2）由（1）利用单调性即可得出．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当m≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，解f'（x）＞0得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
∴，
∴，∴，
令，则，
∴h（m）在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴m+n的最小值为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5S ：坐标系和参数方程．
【分析】（1
）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程．
（2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
转化为普通方程：，
即，
则C1的极坐标方程为，…（3分）
∵直线C2的方程为，
∴直线C2的极坐标方程．…
（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），
将代入，
得：ρ2﹣5ρ+3=0，
∴ρ1•ρ2=3，
∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）
【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集；
（2）若g（x）=f（x+m）+f（x﹣m）的最小值为4，求实数m的值．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；45 ：等体积法；49 ：综合法；5T ：不等式．
【分析】（1）化简f（x）＞5﹣|x+2|为|2x﹣3|+|x+2|＞5，通过当时，时，去掉绝对值符号，求解即可；
（2）利用绝对值的几何意义求解推出|m|=4，解得m=±1．
【解答】解：（1）∵f（x）＞5﹣|x+2|可化为|2x﹣3|+|x+2|＞5，
∴当时，原不等式化为（2x﹣3）+（x+2）＞5，解得x＞2，∴x＞2；
当时，原不等式化为（3﹣2x）+（x+2）＞5，解得x＜0，∴﹣2＜x＜0；
当x≤﹣2时，原不等式化为（3﹣2x）﹣（x+2）＞5，解得，∴x≤﹣2．
综上，不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．…
（2）∵f（x）=|2x﹣3|，
∴g（x）=f（x+m）+f（x﹣m）=|2x+2m﹣3|+|2x﹣2m﹣3|≥|（2x+2m﹣3）﹣（2x﹣2m﹣3）|=|4m|，
∴依题设有4|m|=4，解得m=±1．…（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．
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