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2017-2018第 一 学 期 10 月 份 考 试
高二数学试题（理科）
命题：周文辉 审题：郭永
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0
C．∀x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x+3＞0
3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
6．在△ABC中，三个内角所对的边为，若，，，则（ ）
A．12 B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（ ）
A．10072 B．10082 C．10092 D．20102
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
9．抛物线的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，为椭圆的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则=（ ）
A．5 B．3+ C．9 D．14
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13．已知向量=（﹣2，2），向量=（2，1），则向量在向量方向上的投影为 ．
14．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ．
15．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．
16．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6题，17题10分，18-22各12分，解答题需写出必要步骤，否则不给分）
17．命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
18．已知函数．
（Ⅰ）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=，c=7．求角C及a，b的值．
19．设数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．
21．已知点F是拋物线C：的焦点，若点M在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
高二数学（理科）2017～18第一学期第二次月考答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
A
A
C
C
C
D
D
C
D
D
二、 填空题
13. 14. -1 15. 16. [﹣6，+∞）
三、 解答题
17．解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
∴q为真时a＜﹣或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；
当p真q假时，，即＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；
（2）∵，
∴﹣1≤0，
即，
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵¬p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，
∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．
18．解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T==π；
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，
∴2C+=或2C+=，
解得：C=0（舍去）或C=，
∵S=10，
∴absinC=ab=10，即ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，
将ab=40代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．
19．解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
20．解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴（12分）
21．解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，
又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，
∴p的值；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，
当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），
则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，
∴kAM•kBM=×=﹣．
当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，
kAM•kBM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），
联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，
∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，
故kAM•kBM===﹣，
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．
22．解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，
S△OAB=××=；
②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，
即有4m2=3（1+k2），
|AB|=•=•
=•=•
=•≤•=2，
当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，
可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．
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