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2017年下学期高三第2次月考试题
理科数学卷
命题： 审题：
考试范围：集合至平面向量线性运算占60%，其他占40%.满分150分 时量120分钟
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合是整数集,则
2.若复数为纯虚数,则的值为
3.在中,已知则角为
4.执行如图所示的程序框图,当输入的为6时,输出的的值为
5.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是
假命题,
真命题,
假命题,
真命题,
6.函数的图像与函数的图像的交点个数为
7.函数的最小正周期为
8.已知命题函数在区间上单调递增.给出下列命题：①;②;③;④
其中真命题的个数为
9.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为
10.已知实数满足条件,则的最小值为
11.用表示两数中的较小值.若函数的图像关于直线对称,则的值为
12.若定义在上的函数满足则不等式的解集为
二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13.若函数为奇函数,则实数的值为________.
14.设向量满足则
15.若则__________.
16.记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.
三、解答题:本大题满分70分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等.
17.（满分12分）.
在钝角三角形中,内角所对的边长为已知角为最大内角,且
（1）求角
（2）若且的面积为求的值.
18.（满分12分）
某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为
（1）求的分布列和数学期望.
（2）记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率；
19.（满分12分）
如图,在四棱锥中,平面平面
为的中点.
（1）证明:
（2）求二面角的余弦值.
20.（满分12分）
已知椭圆的右焦点为左顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.
21.（满分12分）
已知函数
（1）当时,求的单调区间；
（2）若求实数的取值范围.
请考生在第22题与23题中任选一题作答,如果多做,则按第22题计分.
22.（满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
已知极坐标方程
（1）求的直角坐标方程,并分别判断的形状；
（2）求交点间的距离.
23.（满分10分）选修4-5 不等式选讲
设函数
（1）若解不等式
（2）如果求的取值范围.
2017年下学期隆回一中高三第2次月考试题卷
理科数学卷参考答案
命题： 审题： 满分150分 时量120分钟
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合是整数集,则
【答案】【解析】
2.若复数为纯虚数,其中则的值为
【答案】【解析】设其中则解得所以
3.在中,已知则角为
【答案】【解析】因为所以角为
4.执行如图所示的程序框图,当输入的为6时,输出的的值为
【答案】【解析】略.
5.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是
假命题,
真命题,
假命题,
真命题,
【答案】【解析】设则在上单调递增.所以对命题为真命题,选
6.函数的图像与函数的图像的交点个数为
【答案】【解析】由知,的图像是顶点坐标为开口向下的抛物线.且作图可知函数与函数的图像有两个交点.
7.函数的最小正周期为
【答案】【解析】通分可得所以的最小正周期
8.已知命题函数在区间上单调递增.给出下列命题：①;②;③;④
其中真命题的个数为
【答案】【解析】当时,故命题为假命题.函数在
上单调递增,在上单调递减.故命题为假命题.从而④为真命题,选
9.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为
【答案】【解析】设切点为则斜率
解得所以的方程为即
10.已知实数满足条件,则的最小值为
【答案】【解析】略.
11.用表示两数中的较小值.若函数的图像关于直线对称,则的值为
【答案】【解析】作图可知,当时,函数的图像关于直线对称.所以解得
12.若定义在上的函数满足则不等式的解集为
【答案】【解析】令由已知可得,
在上恒成立,所以在上单调递增. 又所以不等式
即解得所以选
二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13.若函数为奇函数,则实数的值为________.
【答案】【解析】易证为奇函数,又因为函数为奇函数,所以为偶函数.故
14.设向量满足则
【答案】【解析】因为所以
15.若则__________.
【答案】【解析】
16.记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.
【答案】【解析】略.
三、解答题:本大题满分70分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等.
17.（满分12分）.
在钝角三角形中,内角所对的边长为已知角为最大内角,且
（1）求角
（2）若且的面积为求的值.
解：（1）因为由正弦定理可得因为
所以…………（3分）
因为为钝角三角形,且角为最大内角,所以故…………（5分）
（2）因为的面积为所以…………（7分）
由余弦定理得所以
即…………（10分）
所以是方程的两解,解得…………（12分）
18.（满分12分）
某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为
（1）求的分布列和数学期望.
（2）记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率；
解：（1）的可能取值为
…………（3分）
的分布列为
1
2
3
…………（7分）
【评分建议】分布列和数学期望各计2分.
（2）因为是偶函数,所以或…………（9分）…………（12分）
19.（满分12分）
如图,在四棱锥中,平面平面
为的中点.
（1）证明:
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）联结因为为的中点,
所以又平面平面交线为
平面所以又
所以…………（5分）
（2）取线段的中点因为所以由（1）知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则…………（6分）
于是
设平面的一个法向量为由得
令得…………（8分）
设平面的法向量为由得
令得…………（10分）
所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为…………（12分）
20.（满分12分）
已知椭圆的右焦点为左顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.
解：（1）由已知得…………（3分）
所以椭圆的方程为…………（4分）
（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为
联立得解得
此时直线的方程为直线与轴的交点为 …………（6分）
②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为
联立得
设则
且即…………（8分）
而由题意知,
即
解得或…………（10分）
当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为…………（12分）
21.（满分12分）
已知函数
（1）当时,求的单调区间；
（2）若求实数的取值范围.
解：（1）当时, （1分）
令得当时,单调递减;
时,单调递增. …………（3分）
所以的增区间为减区间为 …………（4分）
（2）
当时,显然符合条件. …………（5分）
当时,存在使得
.而不合题意. …………（7分）
当时,对于,因为设的两根为
又因为所以
当时,当时,
所以…………（9分）
又所以
因为所以即解得
因为所以
综上所述,实数的取值范围为…………（12分）
请考生在第22题与23题中任选一题作答,如果多做,则按第22题计分.
22.（满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
已知极坐标方程
（1）求的直角坐标方程,并分别判断的形状；
（2）求交点间的距离.
解：（1）的直角坐标方程为
是以原点为圆心,半径的圆. …………（2分）
因为将代入得
表示一条直线. …………（5分）
（2）记的交点为圆的圆心到直线的距离（7分）
所以交点间的距离为…………（10分）
23.（满分10分）选修4-5 不等式选讲
设函数
（1）若解不等式
（2）如果求的取值范围.
解：（1）当时, …………（3分）
作出图像（略）,可得不等式的解集为…………（5分）
（2）因为所以…………（7分）
即解得…………（10分）
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